1、十七平面与平面平行(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(多选题)下列命题中不正确的是()A.一个平面内两条直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行D.如果一个平面内的无数条直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行【解析】选ACD.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,即两个平面没有公共点,则两平面平行,所以B正确.2.设平面,直线a,b,a,b,则“a,b”是“”的_条件.()A.充分不必要B.必要不充
2、分C.充要D.既不充分也不必要【解析】选B.由平面与平面平行的判定定理可知,若直线a,b是平面内两条相交直线,且a,b,则;当,若a,b,则a,b,因此“a,b”是“”的必要不充分条件.3.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对平面彼此平行的一对是()A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G【解析】选A.如图,因为EFGH-E1F1G1H1是正方体,所以E1EGG1,所以四边形EE1G1G为平行四边形,所以EGE1G1,又因为EG平面E1FG1,E1G1平面E1FG1,所以EG平面
3、E1FG1.同理可证H1E平面E1FG1,又因为H1E平面H1EG,EG平面H1EG,且H1EEG=E,所以平面E1FG1平面EGH1.4.(多选)下列命题中正确的是()A.两个平面,一条直线a平行于平面,则a一定平行于平面B.平面平面,则内的任意一条直线都平行于平面C.一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选BCD.选项A中直线a可能与平行,也可能在内,故选项A不正确;三角形两边必相交,这两条相交直线平行于一个平面,那么三角形所在的平面与这个平面平行,故选项C正确;由平面与平面平行的性
4、质定理可知,故选项B,D正确.5.平面平面,平面平面,且=a,=b,=c,=d,则交线a,b,c,d的位置关系是()A.互相平行B.交于一点C.相互异面D.不能确定【解析】选A.由平面与平面平行的性质定理知,ab,ac,bd,cd,所以abcd.6.已知m,n是两条直线,是两个平面.有以下命题:m,n相交且都在平面,外,m,m,n,n,则;若m,m,则;若m,n,mn,则.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.把符号语言转换为文字语言或图形语言.可知是面面平行的判定定理;中平面,还有可能相交,所以选B.【补偿训练】给出下列说法:内任意一条直线都与平行;直线a,a;直线a
5、,直线b,且a,b;平面内的三点A,B,C到平面的距离相等.其中能得出平面与平面平行的是()A.B.C.D.【解析】选B.根据平面与平面平行的定义及判定定理可知,只有正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.若夹在两个平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面的位置关系为_.【解析】三条平行线段共面时,两平面可能平行也可能相交,当三条平行线段不共面时,两平面可能平行也可能相交.答案:平行或相交8.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中:BM平面DE;CN平面AF;平面BDM平面AFN;平面BDE平面NCF.以上四个命题中,正确命题的序号是_.【解析】以ABCD为下底面还原正方体,如图,则易判定
6、四个命题都是正确的.答案:三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M平面BC1N,AC平面BC1N=N.求证:N为AC的中点.【证明】因为平面AB1M平面BC1N,平面ACC1A1平面AB1M=AM,平面BC1N平面ACC1A1=C1N,所以C1NAM,又ACA1C1,所以四边形ANC1M为平行四边形,所以ANC1M且AN=C1M,又C1M=A1C1,A1C1=AC,所以AN=AC,所以N为AC的中点.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证:MN平面AA1B1B.【证
7、明】如图,作MPBB1交BC于点P,连接NP,因为MPBB1,所以=.因为BD=B1C,DN=CM,所以B1M=BN,所以=,所以=,所以NPCDAB.因为NP平面AA1B1B,AB平面AA1B1B,所以NP平面AA1B1B.因为MPBB1,MP平面AA1B1B,BB1平面AA1B1B.所以MP平面AA1B1B.又因为MP平面MNP,NP平面MNP,MPNP=P,所以平面MNP平面AA1B1B.因为MN平面MNP,所以MN平面AA1B1B.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(多选题)已知,是两个不重合的平面,下列选
8、项中,不能得出平面与平面平行的是()A.内有无穷多条直线与平行B.直线a,aC.直线a,b满足:ba,a,bD.异面直线a,b满足:a,b,且a,b【解析】选ABC.对于选项A,当内有无穷多条直线与平行时,平面与平面可能平行,也可能相交;对于选项B,若直线a,a,则平面与平面可能平行,也可能相交;对于选项C,若ba,a,b,则平面与平面可能平行,也可能相交;对于选项D,当a,b,且a,b时,可在a上取一点P,过点P作直线bb,由线面平行的判定定理,得b,再由面面平行的判定定理,得.【补偿训练】已知,是两个不重合的平面,下列选项中,一定能得出平面与平面平行的是()A.平面内有一条直线与平面平行B
9、.平面内有两条直线与平面平行C.平面内有一条直线与平面内的一条直线平行D.平面与平面不相交【解析】选D.选项A,C不正确,因为两个平面可能相交;选项B不正确,因为平面内的这两条直线必须相交才能得到平面与平面平行;选项D正确,因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种.2.已知a,b,c,d是四条直线,是两个不重合的平面,若abcd,a,b,c,d,则与的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.以上都不对【解析】选C.根据图1和图2可知与平行或相交.3.a是平面外的一条直线,过a作平面,使,这样的()A.只能作一个B.至少可以作一个C.不存在D.至多可以作一个【解析】选D.因为a是平面外的
10、一条直线,所以a或a与相交,当a时,只有一个;当a与相交时,不存在.4.如图,在下列四个正方体中,P,R,Q,M,N,G,H为所在棱的中点,则在这四个正方体中,阴影平面与PRQ所在平面平行的是()【解析】选A.A中,因为PQACA1C1,所以可得PQ平面A1BC1,又RQA1B,可得RQ平面A1BC1,从而平面PQR平面A1BC1.B中,作截面可得平面PQR平面A1BN=HN(H为C1D1中点),如图:C中,作截面可得平面PQR平面HGN=HN(H为C1D1中点),如图:D中,作截面可得QN,C1M为两相交直线,因此平面PQR与平面A1MC1不平行,如图:二、填空题(每小题4分,共16分)5.
11、若平面平面,a,下列说法正确的是_.a与内任一直线平行;a与内无数条直线平行;a与内任一直线不垂直;a与无公共点.【解析】因为a,所以a,所以a与无公共点,正确;如图,在正方体中,令线段B1C1所在的直线为a,显然a与内无数条直线平行,故正确;又ABB1C1,故在内存在直线与a垂直,故错误.答案:【补偿训练】设,是两个不重合的平面,a,b是两条不同的直线,给出下列条件:,都平行于直线a,b;a,b是内两条直线,且a,b;若a,b相交,且都在,外,a,a,b,b.其中可判定的条件的序号为_.【解析】中,只有当a与b相交或异面时,才能判定;中,只有a,b相交时才能判定;中,由于a,b相交,设a,b
12、确定平面,则,所以.答案:6.如图所示,平面平面,ABC,A1B1C1分别在平面,内,线段AA1,BB1,CC1相交于点O,点O在,之间,若AB=2,AC=1,OAOA1=32,且BAAC,则A1B1C1的面积为_.【解析】因为相交直线AA1,BB1所在的平面和两平行平面,分别交于AB,A1B1,所以ABA1B1.同理可得ACA1C1,BCB1C1,所以ABC和A1B1C1的三个内角相等,所以ABCA1B1C1,且=,所以=SABC=21=.答案:7.a,b,c为三条不重合的直线,为三个不重合平面,现给出六个命题.ab;ab;a;a,其中正确的命题是_.(填序号)【解析】是平行线的传递性,正确
13、;中a,b还可能异面或相交;中,还可能相交;是平面平行的传递性,正确;还有可能a;也是忽略了a的情形.答案:【补偿训练】已知下列说法:若两个平面,a,b,则ab;若两个平面,a,b,则a与b是异面直线;若两个平面,a,b,则a与b一定不相交;若两个平面,a,b,则a与b平行或异面;若两个平面=b,a,则a与一定相交.其中正确的是_(将你认为正确的序号都填上).【解析】错.a与b也可能异面;错.a与b也可能平行;对.因为,所以与无公共点.又因为a,b,所以a与b无公共点;对.由已知及知:a与b无公共点,那么ab或a与b异面;错.a与也可能平行.答案:8.在如图所示的几何体中,三个侧面AA1B1B
14、,BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形,则平面ABC与平面A1B1C1平行吗?_(填“是”或“否”).【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形,所以ABA1B1,因为AB平面A1B1C1,A1B1平面A1B1C1,所以AB平面A1B1C1,同理可证:BC平面A1B1C1.又因为ABBC=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以平面ABC平面A1B1C1.答案:是三、解答题(共38分)9.(12分)如图所示,在直角梯形ABCP中,BCAP,ABBC,CDAP,AD=DC=PD.E,F,G分别为线段PC,PD,BC的中点,现将PDC折起,使点P平面ABCD.求证:平面PAB平面EFG.【证明】
15、因为PE=EC,PF=FD,所以EFCD,又因为CDAB,所以EFAB,又EF平面PAB,AB平面PAB,所以EF平面PAB,同理可证EG平面PAB.又因为EF平面EFG,EG平面EFG且EFEG=E,所以平面PAB平面EFG.10.(12分)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,E分别是BC与B1C1的中点.求证:平面A1EB平面ADC1.【证明】由棱柱性质知,B1C1BC,B1C1=BC,又D,E分别为BC,B1C1的中点,所以C1EDB,则四边形C1DBE为平行四边形,因此EBC1D,又C1D平面ADC1,EB平面ADC1,所以EB平面ADC1.连接DE,同
16、理,EB1BD,所以四边形EDBB1为平行四边形,则EDB1B.因为B1BA1A(棱柱的性质),所以EDA1A,则四边形EDAA1为平行四边形,所以A1EAD,又A1E平面ADC1,AD平面ADC1,所以A1E平面ADC1.因为A1E平面A1EB,EB平面A1EB且A1EEB=E,所以平面A1EB平面ADC1.11.(14分)如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2,当点M在何位置时,BM平面AEF.【解析】如图,取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ,PB,BQ,则PQAE.因为EC=2FB=2,所以PE=BF.又因为ABC-A1B1C1是三棱柱,所以PEBF.所以四边形BFEP为平行四边形,所以PBEF.又AE,EF平面AEF,PQ,PB平面AEF,所以PQ平面AEF,PB平面AEF.又PQPB=P,所以平面PBQ平面AEF.又BQ平面PBQ,所以BQ平面AEF.故点Q即为所求的点M,即点M为AC的中点时,BM平面AEF.