1、六复数的加法与减法(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.已知复数z1=1-i,z2=2+5i,则|z1+z2|=()A.3B.4C.5D.6【解析】选C.由z1=1-i,z2=2+5i,得z1+z2=(1-i)+(2+5i)=(1+2)+(-1+5)i=3+4i,所以|z1+z2|=5.2.已知复数z,“z+=0”是“z为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当z=0时,满足z+=0,此时为实数;而当z为纯虚数时,z+=0,所以“z+=0”是“z为纯虚数”的
2、必要不充分条件.3.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,则|z1+z2|等于()A.1B.C.2D.3【解析】选B.由题干图可知z1=-2-2i,z2=i,所以z1+z2=-2-i,所以|z1+z2|=.4.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.根据复数加(减)法的几何意义,以,为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故三角形OAB为直角三角形.5.设复数z=x+yi,x,y是实数,且x+2i=yi-1,则|z-|
3、=()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.由x+2i=yi-1,得x=-1,y=2,所以z=-1+2i,=-1-2i,|z-|=|4i|=4.【补偿训练】如果复数z=3+ai满足条件|z-2|2,那么实数a的取值范围是() A.(-2,2)B.(-2,2)C.(-1,1)D.(-,)【解析】选D.|z-2|2即|1+ai|2,所以2,所以-a|z1|B.|z1-z2|z1|C.|z1+z2|z1|+|z2|D.|z1-z2|z1|+|z2|【解析】选CD.若z2=0时,|z1+z2|=|z1|,|z1-z2|=|z1|,故A,B不正确.设复数z1,z2对应平面向量,当与不共线时,|+|+|,
4、当与方向相同时,|+|=|+|,故|+|+|,即|z1+z2|z1|+|z2|,C正确.当与不共线时,|-|+|,当与方向相反时,|-|=|+|,故|-|+|,即|z1-z2|z1|+|z2|,D正确.4.|(3+2i)-(1+i)|表示复平面上()A.点(3,2)与点(1,1)之间的距离B.点(3,2)与点(-1,-1)之间的距离C.点(3,2)到原点的距离D.以上都不对【解析】选A.设z1=3+2i,z2=1+i,原式=|z1-z2|,其几何意义表示的就是这两个复数对应的两个点之间的距离.二、填空题(每小题4分,共16分)5.复平面内三点A,B,C,点A对应的复数为3-4i,向量对应的复数
5、为1+2i,向量对应的复数为3-2i,则点C对应的复数为_.【解析】由点A对应的复数为3-4i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-2i,得=+=+-=(3-4i)+(3-2i)-(1+2i)=5-8i,所以点C对应的复数为5-8i.答案:5-8i6.设复数z满足z+|z|=2+i,则z=_.【解析】设z=x+yi(x,yR),则|z|=,所以x+yi+=2+i,所以解得所以z=+i.答案:+i7.已知复平面上AOB的重心G所对应的复数为1+i,则以OA,OB为邻边的平行四边形的对角线长为_.【解析】复平面上AOB的重心G所对应的复数为1+i,设AB的中点为D,则=,由向量加法的平行
6、四边形法则,得+=2=3=3+3i,故以OA,OB为邻边的平行四边形的对角线长为3.答案:38.已知|z|=,且z-2+4i为纯虚数,则z=_.【解析】设复数z=x+yi(x,yR),则z-2+4i=(x-2)+(y+4)i.由题意知所以或所以z=2i.答案:2i三、解答题(共38分)9.(12分)已知复数z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i,(x,yR).设z=z1-z2=14-11i,求z1+z2.【解析】由z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i,(x,yR),z=z1-z2=14-11i得,(5x-3y)+(x+4
7、y)i=14-11i,所以,解得,所以z1=(3x+y)+(y-4x)i=-7i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i=-14+4i,z1+z2=-14-3i.10.(12分)在平行四边形ABCD中,已知,对应的复数分别为z1=3+5i,z2=-1+2i.(1)求对应的复数.(2)求对应的复数.(3)求平行四边形ABCD的面积.【解析】(1)由于=+=+,所以=-,故对应的复数为z=z1-z2=(3+5i)-(-1+2i)=4+3i.(2)由于=-=-,所以对应的复数为(4+3i)-(-1+2i)=5+i.(3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD中,=(-1,2),=(4,3),所以cosDAB=.因此sinDAB=.所以平行四边形ABCD的面积S=|sinDAB=5=11.11.(14分)已知z1=-3+i,z2=2+6i对应的向量分别为和,以OZ1,OZ2为邻边作平行四边形OZ1CZ2,求向量,对应的复数.【解析】由复数加减法的几何意义知,向量对应的复数为z1+z2=(-3+i)+(2+6i)=-1+7i,向量对应的复数为z2-z1=(2+6i)-(-3+i)=5+5i,向量对应的复数为z1-z2=-5-5i.