1、课堂导学三点剖析一,利用综合法证明不等式【例1】 设a,b,c(0,+),且a+b+c=1,求证:+9.证明：a+b+c=1,+=+=1+1+1+=3+(+)+(+)+(+)3+2+2+2=9,即+9.温馨提示综合法是把整个不等式看作一个整体,通过对欲证不等式的分析,观察,选择恰当不等式作为证题的出发点.二,利用分析法证明不等式【例2】求证:(x2).证明：要证成立.只需证成立.只要证,即证2x-1+22x-1+2成立.也就是要证成立.只需证x2-x-2x2-x成立,即证-20,只需证成立,即证m2a2+n2b2+2mnab(m2+n2)(a2+b2)成立.也就是要证m2b2+n2a22mna
2、b成立.即证(mb-na)20成立,显然,上述不等式成立.原不等式成立.温馨提示证明不等式就是要证明所给的不等式在给定条件下恒成立.由于不等式的形式多种多样,所以不等式的证明的方法也就灵活多样.各个击破类题演练1已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc.证明:b2+c22bc,a0,a(b2+c2)2abc.同理,b(a2+c2)2abc,c(a2+b2)2abc.a,b,c不全相等,b2+c22bc,c2+a22ac,a2+b22ab三式不能全取“=”，从而三式也不能全取“=”.a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6a
3、bc.变式提升1已知a,b,cR,求证:a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).证明:a2b2+b2c22ab2c,b2c2+c2a22abc2,c2a2+a2b22a2bc,上述三个不等式相加得a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).类题演练2设x0,y0,求证:.证明:要证原不等式成立,只要证明.x0,y0,只要证明(x+y)24xy.只要证明x2+y22xy.只要证明x2-2xy+y20,即证(x-y)20.(x-y)20成立,原不等式成立.变式提升2已知x0,y0,求证:(x2+y2)(x3+y3).证明:只需证明(x2+y2)3(x3+y3)2,即证x6+3x4y
4、2+3x2y4+y6x6+2x3y3+y6,即证3x4y2+3x2y42x3y3.x0,y0,x2y20,即证3x2+3y22xy.3x2+3y2x2+y22xy,3x2+3y22xy成立.故(x2+y2)(x3+y3).类题演练3已知a,b,cR,求证:a2+b2+c2+4ab+3b+2c.证法一:左边-右边=a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=(4a2+4b2+4c2-4ab-12b-8c+16)=(2a-b)2+3(b-2)2+4(c-1)20.a2+b2+c2+4ab+3b+2c.证法二:a2+b2ab,+33b,c2+12c,a2+b2+c2+4=(a2+)+(+3)+(c2+1)ab+3b+2c.变式提升3已知a2+b2=1,x2+y2=1,求证:ax+by1.证明:a2+x22ax,b2+y22by,a2+x2+b2+y22ax+2by.ax+by=1.
