1、七复数的乘法与除法(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(2019全国卷)设z=i(2+i),则=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i【解析】选D.z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,则=-1-2i.2.设复数z1和z2在复平面内的对应点关于坐标原点对称,且z1=3-2i,则z1z2=()A.-5+12iB.-5-12iC.-13+12iD.-13-12i【解析】选A.因为z1=3-2i,所以z2=-3+2i,z1z2=(3-2i)(-3+2i)=-(3-2i)2=-5+12i.3.(2017
2、北京高考)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-,1)B.(-,-1)C.(1,+)D.(-1,+)【解析】选B.复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i,其在复平面内对应的点(a+1,1-a)在第二象限,故解得a0C.若zR,则zRD.若z0,则z0【解析】选AD.设z=a+bi,a,bR,则z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2R,选项A正确,当z=i,=-i时,z=1R,则zR,故C不正确,当z=0时,z=0,选项B不正确,选项D正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.计算=_.【解析】方法一:原式=(-i)2 020=1.方法
3、二:原式=1.答案:18.(2019天津高考)i是虚数单位,则的值为_.【解析】=|2-3i|=.答案:三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知aR,复数z=.(1)若z为纯虚数,求a的值.(2)在复平面内,若对应的点位于第二象限,求a的取值范围.【解题指南】(1)先利用复数的除法得到z=-i,根据z为纯虚数可得a=1.(2)先求出,根据其对应的点在第二象限可得横坐标、纵坐标满足的不等式组,从而得到a的取值范围.【解析】(1)z=-i,因为z为纯虚数,所以=0,且-0,则a=1.(2)由(1)知,=+i,则点位于第二象限,所以,得-1a1.所以a的取值范围是(-1,1).10.若f(z)=
4、2z+-3i,f(+i)=6-3i,求f(-z).【解析】因为f(z)=2z+-3i,所以f(+i)=2(+i)+()-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i.又因为f(+i)=6-3i,所以2+z-2i=6-3i.设z=a+bi(a,bR),则=a-bi,所以2(a-bi)+(a+bi)=6-i,即3a-bi=6-i.由复数相等的定义,得解得所以z=2+i,故f(-z)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.【补偿训练】已知x,y为共轭复数且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x,y.【解题指南】根据x,y为共轭复数,可设复数的基本形式,利用复数相等,将复数问题转化为实数问题.
5、【解析】设x=a+bi(a,bR),则y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,根据复数相等得解得或或或故所求复数为或或或(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.设z=,则z的共轭复数为()A.-1+3iB.-1-3iC.1+3iD.1-3i【解析】选D.由z=1+3i,得=1-3i.2.(2020北京高考)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则iz=()A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i【解析】选B.z=1+2i,iz=i(1+2i)=-
6、2+i.3.(多选题)下列叙述正确的是()A.方程3x2-2x+1=0的两个根互为共轭虚数B.设i是虚数单位,则复数i3-=iC.a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充要条件D.a=6是复数为纯虚数的充要条件【解析】选ABD.方程3x2-2x+1=0的两个根为x1,2=i互为共轭虚数,选项A正确.i3-=-i-=-i-=-i+2i=i,选项B正确.因为复数(a+i)(1-ai)=2a+(1-a2)i为实数的充要条件是a=1,所以a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充分不必要条件,选项C不正确.因为=,所以当a=6时,复数为纯虚数,反之成立,选项D正确.4.已知复数3-2i是关于x的
7、方程2x2-mx+n=0的一个根,则实数m,n的值分别为()A.6,8B.12,0C.12,26D.24,26【解析】选C.由题意知,3-2i和3+2i都是方程2x2-mx+n=0的根,所以m=2(3-2i+3+2i)=12,n=2(3-2i)(3+2i)=26.【补偿训练】是z的共轭复数.若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z=()A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i【解析】选D.设z=a+bi(a,bR),则=a-bi,又z+=2,即(a+bi)+(a-bi)=2,所以2a=2,解得a=1.又(z-)i=2,即(a+bi)-(a-bi)i=2,所以bi2=1,解得b=-1
8、.所以z=1-i.二、填空题(每小题4分,共16分)5.设z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为_.【解析】设=bi(bR且b0),所以z1=biz2,即a+2i=bi(3-4i)=4b+3bi,所以所以a=.答案:6.已知i是虚数单位,z=,则|z|=_.【解析】因为=i,所以z=i1 009=i4252+1=i=-+i,|z|=1.答案:17.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若=+(,R),则+的值是_.【解析】由已知得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),根据=+,得(3,-4)=(-1,2)+
9、(1,-1)=(-+,2-),所以解得所以+=1.答案:1【补偿训练】1.设复数a+bi(a,bR)的模为,则(a+bi)(a-bi)=_.【解析】设z=a+bi,则(a+bi)(a-bi)=z=|z|2=3.答案:32.若复数z满足:z(1+i)=2,则|z|=_.【解析】因为z(1+i)=2,所以z=1-i,故|z|=.答案:8.若=-+i,计算+=_.【解析】由=-+i,得2=-i,3=1,所以+=+=i66+(2)6=-2.答案:-2三、解答题(共38分)9.(12分)已知复数z满足|z|=5,且(3+4i)z是纯虚数,求z.【解析】设z=x+yi(x,yR),因为|z|=5,所以x2
10、+y2=25,又(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=(3x-4y)+(4x+3y)i是纯虚数,所以,联立三个关系式解得或,所以z=4+3i或z=-4-3i.10.(12分)设z为虚数,求证:z+为实数的充要条件是|z|=1.【证明】设z=a+bi(a,bR,b0),于是z+=a+bi+=a+bi+=+i,又b0,Rb-=0a2+b2=1|z|=1.11.(14分)若虚数z同时满足下列两个条件:z+是实数;z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.【解题指南】假设存在虚数满足题意,设虚数的基本形式,代入运算,看解方程组是否有解.【解析】假设存在虚数z满足题意,设z=a+bi(a,bR且b0),z+=a+bi+=a+bi+=+i.因为z+是实数,所以b-=0.又因为b0,所以a2+b2=5.又z+3=(a+3)+bi的实部与虚部互为相反数,所以a+3+b=0.由得解得或故存在虚数z,z=-1-2i或z=-2-i.