1、2017年北京市海淀区高考数学零模试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合I=x|3x3，xz，A=1，2，B=2，1，2，则A（IB）等于（）A1B1，2C0，1，2D1，0，1，22若mn0，则下列不等式中正确的是（）AB|n|m|CDm+nmn3中国诗词大会节目是央视首档全民参与的诗词节目，节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为基本宗旨，力求通过对诗词知识的比拼及赏析，带动全民重温那些曾经学过的古诗词，分享诗词之美，感受诗词之趣，从古人的智慧和情怀中汲取营养，涵养心灵如图是2016年中国诗词大会中
2、，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字09中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有（）Aa1a2Ba2a1Ca1=a2Da1，a2的大小与m的值有关4如图所示，已知， =， =， =，则下列等式中成立的是（）ABCD5当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A6B8C14D306已知正项数列an中，a1=1，a2=2，则a6等于（）A16B8C4D7已知Q=（x，y）|x+y6，x0，y0，A=（x，y）|x4，y0，x2y0，若向区域Q上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）ABCD8已知函数x，正实数
3、a，b，c是公差为负数的等差数列，且满足f（a）f（b）f（c）0，若实数d是方程f（x）=0的一个解，那么下列四个判断：da；db；dc；dc中一定成立的个数为（）A1B2C3D4二、填空题设i为虚数单位，则复数所对应的点位于第象限10设a=lg2，b=20.5，则a，b，c按由小到大的顺序是11已知某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是边长为4的正方形，正视图和侧视图是边长为4的等边三角形，则该四棱锥的全面积为12已知双曲线x2+my2=1的右焦点为F（2，0），m的值为，渐进线方程13过抛物线y2=2px（p0）的焦点F作倾斜角为60的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），SO
4、AF=14已知函数f（x）=则函数y=ff（x）+1的零点个数是 个三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15（12分）已知函数（）求的值；（）求f（x）在的值域16（12分）在数列an中，an=2an1+1（n2，nN*）且a1=2（）证明：数列an+1是等比数列；（）求数列an的前n项和Sn17（14分）如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）如果E是PA的中点，求证：PC平面BDE；（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BDCE？证明你的结论
5、18（14分）股票市场的前身是起源于1602年荷兰人在阿姆斯特河大桥上进行荷属东印度公司股票的买卖，而正规的股票市场最早出现在美国2017年2月26号，中国证监会主席刘士余谈了对股市的几点建议，给广大股民树立了信心最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利不赔不赚亏损概率（2）购买基金：投资结果获利不赔不赚亏损概率pq（）当时，求q的值；（）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p的取值范围；（）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两
6、人中至少有一人获利的概率19（14分）已知函数，g（x）=xlnx（）求函数g（x）在区间2，4上的最小值；（）证明：对任意m，n（0，+），都有g（m）f（n）成立20（14分）已知椭圆=1（ab0）经过点P（0，1），离心率为，动点M（2，m）（m0）（）求椭圆的标准方程；（）求以OM为直径且被直线3x4y5=0截得的弦长为2的圆的方程；（）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明：线段ON的长为定值，并求出这个定值2017年北京市海淀区高考数学零模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
7、一项是符合题目要求的.1设集合I=x|3x3，xz，A=1，2，B=2，1，2，则A（IB）等于（）A1B1，2C0，1，2D1，0，1，2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】由全集I及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可【解答】解：集合I=x|3x3，xZ=2，1，0，1，2，A=1，2，B=2，1，2，IB=0，1，则A（IB）=1故选：A【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键2若mn0，则下列不等式中正确的是（）AB|n|m|CDm+nmn【考点】不等式的基本性质【分析】利用不等式的基本性质，两个负数取倒数或去绝对值不等式方向应该改变，得到AB不
8、正确，在根据均值不等式得到C是正确的，对于显然知道m+n0而mn0故D也不正确【解答】解：mn0取倒数后不等式方向应该改变即，故A不正确mn0两边同时乘以1后不等式方向应该改变mn0即|m|n|，故B不正确mn0根据均值不等式知： +2故C正确mn0m+n0，mn0m+nmn，故D不正确，故选：C【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题3中国诗词大会节目是央视首档全民参与的诗词节目，节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为基本宗旨，力求通过对诗词知识的比拼及赏析，带动全民重温那些曾经学过的古诗词，分享诗词之美，感受诗词之趣，从古人的智慧和情怀中汲取营养，涵养心灵如图是2016年中国
9、诗词大会中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字09中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有（）Aa1a2Ba2a1Ca1=a2Da1，a2的大小与m的值有关【考点】茎叶图【分析】根据茎叶图求出a1，a2的值，比较大小即可【解答】解：由5+4+5+5+1=204+4+6+4+7=25，故a1=84，a2=85，故a1a2，故选：B【点评】本题考查了茎叶图的读法，考查求平均数问题，是一道基础题4如图所示，已知， =， =， =，则下列等式中成立的是（）ABCD【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】利用向量的三角形法则，
10、把作为基底进行加法运算【解答】解：=故选：A【点评】本题考查了平面向量的加法运算法则，属于基础题5当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A6B8C14D30【考点】程序框图【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=54，退出循环，输出s的值为30【解答】解：由程序框图可知：k=1，s=2k=2，s=6k=3，s=14k=4，s=30k=54，退出循环，输出s的值为30故选：D【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查6已知正项数列an中，a1=1，a2=2，则a6等于（）A16B8C4D【考点】数列递推式【分析
11、】，可得数列为等差数列，利用通项公式即可得出【解答】解：，数列为等差数列，首项为1，公差为3则=1+35，a60，解得a6=4故选：C【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7已知Q=（x，y）|x+y6，x0，y0，A=（x，y）|x4，y0，x2y0，若向区域Q上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】根据二元一次不等式组表示的平面区域的原理，分别作出集合和集合A对应的平面区域，得到它们都直角三角形，计算出这两个直角三角形的面积后，再利用几何概型的概率公式进行计算即可【解答】解：区域=（x，y）|x+y6，x
12、0，y0，表示的图形是第一象限位于直线x+y=6的下方部分，如图的红色三角形的内部，它的面积S=18； 再观察集合A=（x，y）|x4，y0，x2y0，表示的图形在直线x2y=0下方，直线x=4的左边并且在x轴的上方，如图的黄色小三角形内部可以计算出它的面积为S1=4根据几何概率的公式，得向区域上随机投一点P，P落入区域A的概率为P=故选：D【点评】本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概率模型，准确画作相应的平面区域，熟练地运用面积比求相应的概率，是解决本题的关键，属于中档题8已知函数x，正实数a，b，c是公差为负数的等差数列，且满足f（a）f（b）f（c）0，若实数d是方程f（
13、x）=0的一个解，那么下列四个判断：da；db；dc；dc中一定成立的个数为（）A1B2C3D4【考点】等差数列的通项公式【分析】由条件和等差数列的性质判断出a、b、c的大小关系，由题意画出的图象，通过方程的根与图象交点问题，由图象可得答案【解答】解：正实数a，b，c是公差为负数的等差数列，0abc，在坐标系中画出的图象：f（a）f（b）f（c）0，且实数d是方程f（x）=0的一个解，由图可得，adc一定成立，则da不正确；db不一定；dc不正确；dc正确，一定成立的个数是1个，故选A【点评】本题考查等差数列的性质，指数函数、对数函数的图象，以及过方程的根与图象交点问题的转化，考查转化思想、数
14、形结合思想二、填空题（2017海淀区模拟）设i为虚数单位，则复数所对应的点位于第一象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：复数=1+i所对应的点（1，1）位于第一象限故答案为：一【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10设a=lg2，b=20.5，则a，b，c按由小到大的顺序是cab【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数与对数函数、三角函数的单调性即可得出【解答】解：a=lg2（0，1），b=20.51，0，cab故答案为：cab【点评】本题考查了指数函数与对数函数、三角函数的单调性，考查了推理能
15、力与计算能力，属于基础题11已知某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是边长为4的正方形，正视图和侧视图是边长为4的等边三角形，则该四棱锥的全面积为48【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图知，该几何体是正四棱锥，且底面是边长为4的正方形，结合图中数据求出它的全面积【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是正四棱锥，且底面是边长为4的正方形，正四棱锥的高即等边三角形的高为4sin=2，斜高为=4；该四棱锥的全面积为S=42+444=48故答案为：48【点评】本题考查了利用三视图求几何体全面积的应用问题，是基础题12已知双曲线x2+my2=1的右焦点为F（2，0），m的值为，渐进线方
16、程【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的标准方程借助焦点坐标建立方程即可【解答】解：由题意，1=4，m=，x2+my2=0，可得双曲线渐近线为故答案为，【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，根据双曲线的焦点坐标，建立方程求出m的值是解决本题的关键13过抛物线y2=2px（p0）的焦点F作倾斜角为60的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），SOAF=p2【考点】抛物线的简单性质【分析】写出直线AB的方程，联立方程组解出A点坐标，即可求出面积【解答】解：抛物线的焦点F（，0），直线AB的方程为y=（x），联立方程组，消元得：3x25px+=0，解得x1=，x2=A点在x轴上方
17、，A（， p）SAOF=p=p2，故答案为：【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系，属于中档题14已知函数f（x）=则函数y=ff（x）+1的零点个数是4 个【考点】函数的零点【分析】当x0时，f（x）=x+1当1x0时，f（x）=x+10，y=ff（x）+1=log2（x+1）+1=0，x=；当x1时，f（x）=x+10，y=ff（x）+1=f（x）+1+1=x+3=0，x=3；当x0时，f（x）=log2x，y=ff（x）+1=log2f（x）+1当0x1时，f（x）=log2x0，y=ff（x）+1=log2f（x）+1=log2（log2x+1）+1=0，x=；当x1时，f
18、（x）=log2x0，y=ff（x）+1=log2（log2x）+1=0，x=由此能求出y=ff（x）+1的零点【解答】解：当x0时，f（x）=x+1，当1x0时，f（x）=x+10y=ff（x）+1=log2（x+1）+1=0，x+1=，x=当x1时，f（x）=x+10，y=ff（x）+1=f（x）+1+1=x+3=0，x=3当x0时，f（x）=log2x，y=ff（x）+1=log2f（x）+1，当0x1时，f（x）=log2x0，y=ff（x）+1=log2f（x）+1=log2（log2x+1）+1=0，x=；当x1时，f（x）=log2x0，y=ff（x）+1=log2（log2x）
19、+1=0，x=综上所述，y=ff（x）+1的零点是x=3，或x=，或x=，或x=故答案为：4【点评】本题考查函数的零点个数的求法，是基础题，易错点是分类不全，容量出现丢解解题时要注意分段函数的性质和应用，注意分类讨论法的合理运用三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15（12分）（2017海淀区模拟）已知函数（）求的值；（）求f（x）在的值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（）直接将x=带入计算即可（）利用二倍角公式和辅助角公式化简，由，得，结合三角函数图象及性质求解可得值域【解答】解：（），=（）化简可得：f（x）=，由，得，
20、得：，故得f（x）的值域为【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键16（12分）（2017海淀区模拟）在数列an中，an=2an1+1（n2，nN*）且a1=2（）证明：数列an+1是等比数列；（）求数列an的前n项和Sn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）对原等式两边加1，结合等比数列的定义，即可得证；（）运用等比数列的通项公式可得，即，再由数列的求和方法：分组求和，运用等比数列的求和公式，即可得到所求和【解答】（）证明：an=2an1+1，an+1=2（an1+1），a1=2，a1+1=3，则数列an+1是以3为首项，2为公比的等比数列
21、；（）解：由（）知，则Sn=（3+6+32n1）（1+1+1）【点评】本题考查等比数列的定义的运用，以及通项公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，注意运用等比数列的求和公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题17（14分）（2017海淀区模拟）如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的动点（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）如果E是PA的中点，求证：PC平面BDE；（3）是否不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BDCE？证明你的结论【考点】直线与平面平行的判定；棱锥的结构特征【分析】（1）利用四棱锥的体积计算公式即可；（2）利用三角形
22、的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；（3）利用线面垂直的判定和性质即可证明【解答】解：（1）PA底面ABCD，PA为此四棱锥底面上的高V四棱锥PABCD=（2）连接AC交BD于O，连接OE四边形ABCD是正方形，AO=OC，又AE=EP，OEPC又PC平面BDE，OE平面BDEPC平面BDE（3）不论点E在侧棱PA的任何位置，都有BDCE证明：四边形ABCD是正方形，BDACPA底面ABCD，PABD又PAAC=A，BD平面PACCE平面PACBDCE【点评】熟练掌握线面平行、垂直的判定和性质定理及四棱锥的体积计算公式是解题的关键18（14分）（2017海淀区模拟）股票市场的前身是起源于
23、1602年荷兰人在阿姆斯特河大桥上进行荷属东印度公司股票的买卖，而正规的股票市场最早出现在美国2017年2月26号，中国证监会主席刘士余谈了对股市的几点建议，给广大股民树立了信心最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利不赔不赚亏损概率（2）购买基金：投资结果获利不赔不赚亏损概率pq（）当时，求q的值；（）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p的取值范围；（）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率【考点】列举
24、法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（）由已知得，由此能求出（）由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得，由，q0，能求出p的取值范围（）记事件A为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，用a，b，c分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x，y，z分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，由此利用列举法能求出这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率【解答】解：（）因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以，又因为，所以（）由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏
25、损的概率小，得，因为，所以，解得，又因为，q0，所以，所以（）记事件A为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，用a，b，c分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x，y，z分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有33=9种，它们是：（a，x），（a，y），（a，z），（b，x），（b，y），（b，z），（c，y），（c，z），所以事件A的结果有5种，它们是：（a，x），（a，y），（a，z），（b，x），（c，x）因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率【点评】本题考查概率的求
26、法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率公式、列举法的合理运用19（14分）（2017海淀区模拟）已知函数，g（x）=xlnx（）求函数g（x）在区间2，4上的最小值；（）证明：对任意m，n（0，+），都有g（m）f（n）成立【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出g（x）在2，4上的最小值即可；（）求出g（m）的最小值，根据函数的单调性求出f（x）的最大值，从而证出结论即可【解答】（）解：由g（x）=xlnx，可得g（x）=lnx+1当，g（x）0，g（x）单调递减；当，g
27、（x）0，g（x）单调递增所以函数g（x）在区间2，4上单调递增，又g（2）=2ln2，所以函数f（x）在区间2，4上的最小值为2ln2（）证明：由（）可知g（x）=xlnx（x（0，+）在时取得最小值，又，可知由，可得，所以当x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递增；当x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递减所以函数f（x）（x0）在x=1时取得最大值，又，可知，所以对任意m，n（0，+），都有g（m）f（n）成立【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题20（14分）（2017海淀区模拟）已知椭圆=1（ab0）经过点P（0，1），离心率为
28、，动点M（2，m）（m0）（）求椭圆的标准方程；（）求以OM为直径且被直线3x4y5=0截得的弦长为2的圆的方程；（）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明：线段ON的长为定值，并求出这个定值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由椭圆的离心率公式及b=1，即可求得a的值，求得椭圆方程；（）设圆的方程，利用点到直线的距离公式，即可求得m的值，求得圆的方程；（）过点F作OM的垂线，|ON|2=|OK|OM|，联立直线OM与FN直线方程，求得K点坐标，求得丨OK丨，|OM|，即可求得丨ON丨；则由向量=0，则2x0+y0t=2，根据=0，利用向量数量积的坐标运算，即可求
29、得x02+y02=2，则=【解答】解：（）由题意得e=，则=，则a2=2b2，椭圆的焦点在x轴上，且经过点P（0，1），则b=1，a2=2，c2=a2b2=1，椭圆方程为（）以OM为直径的圆的圆心为，半径，方程为，因为以OM为直径的圆被直线3x4y5=0截得的弦长为2，圆心到直线3x4y5=0的距离所以，解得m=4，所求圆的方程为（x1）2+（y2）2=5（）证明：过点F作OM的垂线，垂足设为K，由平面几何知：|ON|2=|OK|OM|则直线OM：，直线FN：，由得，（，），所以线段ON的长为定值；方法二：设N（x0，y0），则=（x01，y0），=（2，t），则=（x01，y0t），=（x0，y0），则=0，2（x01）+ty0=0，整理得：2x0+y0t=2，由=0，x0（x01）+y0（y0t）=0，x02+y02=2x0+y0t=2，则|=，线段ON的长为定值【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查点到直线的距离公式，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题