2022版新教材高中数学 第一章 空间向量与立体几何 2 空间向量在立体几何中的应用 1 空间中的点、直线与空间向量训练（含解析）新人教B版选择性必修第一册.docx

1、空间中的点、直线与空间向量基础达标练1.若两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2) ,则l1和l2的位置关系是( )A.平行B.相交C.垂直D.不确定答案：A2.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150，则l1与l2的夹角为 ( )A.30 B.150 C.30或150 D.以上均不正确答案：A3.（2021天津第四十二中学高二月考）已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1、l2的方向向量,若l1l2 ,则( )A.x=6,y=15 B.x=3,y=15C.x=83,y=103 D.x=6,y=152答案：D4.如

2、图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点，若D1FDE，则( )A.B1E=EB B.B1E=2EBC.B1E=12EB D.E与B重合答案：A5.（2020江西临川一中高二期中）已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱AA1的中点,则直线DE与体对角线BD1所成角的余弦值为( )A.1515 B.33 C.255 D.0答案：A6.已知向量AB=(1,5,-2),BC=(3,1,2),DE=(x,-3,6) .若DE平面ABC ,则x的值是 .答案：57.（2020江苏如皋中学高二月考）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3 ,BC=3,AB=3

3、2,AA1=2，则异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为 .答案：4138.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,BB1=BC=1,E是面对角线CD1上一点，且CE=45CD1 .（1）求证：AECD1；（2）设异面直线AB1与BD1所成角的大小为，求cos的值.答案：（1）如图,建立空间直角坐标系,依题意得A(1,0,0),B(1,2,0),B1(1,2,1),D1(0,0,1),C(0,2,0),CD1=(0,-2,1).证明：设E(0,y,z) ,则CE=(0,y-2,z) ,CE=45CD1,(0,y-2,z)=(0,-85,45),y=25,z=45 . AE=(-1,25

4、,45),AECD1=(-1,25,45)(0,-2,1)=0,AECD1,AECD1 .（2）AB1=(0,2,1),BD1=(-1,-2,1),cos=|cosAB1,BD1|=|AB1BD1|AB1|BD1|=3010 .素养提升练9.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),点D满足条件DBAC,DCAB,AD=BC ,则点D的坐标为( )A.(2,1,-1)B.(-1,-1,-1)或(-13,-13,-13)C.(13,13,13)D.(1,1,1)或(-13,-13,-13)答案：D解析：9.设D(x,y,z),则BD=(x,y-1,z),CD=(x,y,z-1)

5、,AD=(x-1,y,z),AC=(-1,0,1),AB=(-1,1,0),BC=(0,-1,1)DBAC,BDAC=0,-x+z=0 .DCAB,CDAB=0,-x+y=0 .AD=BC,|AD|=|BC| ,(x-1)2+y2+z2=2 .由，解得x=y=z=1或x=y=z=-13 .10.已知四面体OABC的各棱长均为1,D是棱OA的中点,则异面直线BD与AC所成角的余弦值为( )A.33 B.14 C.36 D.28答案：C解析：10.BD=OD-OB=12OA-OB,AC=OC-OA,|BD|=32,|AC|=1，且BDAC=(12OA-OB)(OC-OA)=-14，故异面直线BD与

6、AC所成角的余弦值为36 .11.（多选）如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别在A1D,AC上，且A1E=23A1D,AF=13AC，则( )A.EF至多与A1D,AC其中之一垂直B.EFA1D,EFACC.EF与BD1相交D.EF与BD1平行答案：B ; D解析：11.如图,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为3,则E(1,0,1),F(2,1,0),A1(3,0,3),A(3,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0),B(3,3,0),D1(0,0,3)，EF=(1,1,-1),AC=(-3,3,0),A1D=(-3,0,-3)，EFAC=0,EFA1D=0 ,E

7、FAC,EFA1D .BD1=(-3,-3,3),BD1=-3EF ,BD1EF .12.已知空间四边形OABC中,点M为BC的中点,点N为AC的中点,点P为OA的中点,点Q为OB的中点,若AB=OC .求证：PMQN .答案：证明设OA=a,OB=b,OC=c .因为OM=12(OB+OC)=12(b+c) ,ON=12(OA+OC)=12(a+c) ,所以PM=PO+OM=-12a+12(b+c)=12(b+c-a) ,QN=QO+ON=-12b+12(a+c)=12(a+c-b) .所以PMQN=14c-(a-b)c+(a-b)=14c2-(a-b)2=14(|OC|2-|BA|2)因为

8、|AB|=|OC|，所以PMQN=0，所以PMQN .即PMQN .创新拓展练13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上（包括A1，C两端点）,E,F分别为DD1,AD中点.若异面直线EF与BM所成的角为，则的取值范围为( ) A.6,3 B.4,3C.6,2 D.4,2答案：A解析：13.命题分析本题以正方体为载体,考查利用空间向量法解决异面直线所成角的取值范围问题,同时考查学生的运算求解能力.答题要领建立恰当的空间直角坐标系,根据动点M在线段A1C上（包括A1，C两端点），利用共线向量的性质设出动点M的坐标，可得cos的函数表达式，进而可求的取值范围.详细解析以D为原

9、点,DA,DC,DD1的方向分别为x轴，y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系（图略）,设DA=2 ,则F(1,0,0),E(0,0,1),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2) ,所以EF=(1,0,-1),BC=(-2,0,0),CA1=(2,-2,2)设CM=CA1(01)，则CM=(2,-2,2),BM=BC+CM=(2-2,-2,2)则cos=|cosBM,EF| ,即cos=22(2-2)2+82=1232-2+1=123(-13)2+23(01) ,当=13时,cos取到最大值32 ,当=1时,cos取到最小值12 ,又(0,2，所以的取值范围为6,3 .方法感悟求解异面直线所成角的范围有两个关键点：一是利用共线向量基本定理设出动点的坐标;二是根据异面直线所成角的余弦值的范围求解,其方法一般应用函数的性质或应用基本不等式.