1、考点54 圆锥曲线的综合问题1已知是椭圆的左、右焦点，点M（2，3），则的角平分线的斜率为A 1 B C 2 D 【答案】C 2已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，分别是两曲线，的离心率，则的最小值是（ ）A 4 B 6 C 8 D 16【答案】C 3设双曲线的方程为，若双曲线的渐近线被圆M：所截得的两条弦长之和为12，已知的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于A B C D 【答案】C【解析】 4设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则A 6 B 9 C 3 D 4【答案】A【解析】 5已知以圆的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限
2、交于点，点是抛物线：上任意一点，与直线垂直，垂足为，则的最大值为( )A B 2 C 1 D 8【答案】C【解析】圆C：（x1）2+y2=4的圆心为焦点（1，0）的抛物线方程为y2=4x，由 ，解得A（1，2），抛物线C2：x2=8y的焦点为F（0，2），准线方程为y=2，即有|BM|AB|=|BF|AB|AF|=1，当且仅当A，B，F（A在B，F之间）三点共线，可得最大值1，故选：C.6已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为A B C D 【答案】C 7已知椭圆,作倾斜角为的直线交椭圆于两
3、点,线段的中点为为坐标原点,若直线的斜率为,则( )A B C D 【答案】B 8平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线的方程为.(1)过抛物线的焦点且与轴垂直的直线交曲线于、两点，经过曲线上任意一点作轴的垂线，垂足为.求证: ；(2)过点的直线与抛物线交于、两点且，.求抛物线的方程.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）设，从而. （2）由条件可知，联立直线和抛物线，有，有，设，由有，有，由韦达定理可求得，所以抛物线. 9已知椭圆C：的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点，点满足.(1)求椭圆的方程；(2)设直线经过点且与交于不同的两点，试问：在x轴上是否存在点,使得直线与直线的斜率的和为
4、定值？若存在，求出点的坐标及定值，若不存在，请说明理由.【答案】（1） ； （2）Q（2，0），1 . 10已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴。（1）求的方程；（2）过的直线交于两点，交直线于点判定直线的斜率是否构成等差数列？请说明理由.【答案】(1) ；(2) 直线的斜率成等差数列记 11已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，直线：与椭圆相交于、两点，关于直线的对称点在椭圆上斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于、两点（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】 12已知在平面直角坐标系中，椭圆C：离心率为，其短轴长为2（1）求椭圆C的标准方程；（2）如
5、图，A为椭圆C的左顶点，P，Q为椭圆C上两动点，直线PO交AQ于E，直线QO交AP于D，直线OP与直线OQ的斜率分别为，且， ，（为非零实数），求的值【答案】（1）（2） 13在平面直角坐标系中，点在椭圆：上.若点，且.（1）求椭圆的离心率；（2）设椭圆的焦距为4，是椭圆上不同的两点，线段的垂直平分线为直线，且直线不与轴重合.若点，直线过点，求直线的方程； 若直线过点，且与轴的交点为，求点横坐标的取值范围.【答案】(1)；(2).或.【解析】（1）设，则，.因为，所以斜率为1或，直线的斜率为-1或， 14已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，面积的最大值为.（）求椭圆的方
6、程；（）过点作关于轴对称的两条不同直线分别交椭圆于与，且，证明直线过定点，并求的面积的取值范围.【答案】()；()答案见解析.15在平面直角坐标系中，椭圆 的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与.当直线的斜率为时，.（1）求椭圆的方程；（2）求由，四点构成的四边形面积的取值范围.【答案】(1) ;(2) . 16设椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .（1）求椭圆的方程;（2）若上存在两点，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形的面积的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，离心率为，又，解
7、得，椭圆的方程为 17已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为 。（1）求椭圆的方程；（2）若直线与相交于两点，与相交于两点，且，求的取值范围.【答案】(1) (2) 18在平面直角坐标系中，点、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为，点在双曲线上，不在轴上的动点与动点关于原点对称，且四边形的周长为.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点的直线交的轨迹于，两点，为上一点，且满足，其中，求的取值范围.【答案】（1）（2），令，则，. 19已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上（）求椭圆的标准方程（）是否存在斜率为的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点，时，能在直
8、线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由【答案】(1) (2) 不存在 20过抛物线 的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线准线的交点为 ，点在抛物线准线上的射影为，若 的面积为 .（ 1 ） 求抛物线的标准方程；（ 2 ） 过焦点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与相交于点，与轴交于点，求证： .【答案】(1).(2)证明见解析.【解析】（1）因为，所以到准线的距离即为三角形的中位线的长，所以，根据抛物线的定义，所以， 21已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点作抛物线的切线，交轴于点.（1）判断的形状；（2） 若两点在抛物线上
9、，点满足，若抛物线上存在异于的点，使得经过三点的圆与抛物线在点处的有相同的切线，求点的坐标.【答案】(1) 为等腰三角形.(2) 点的坐标为.【解析】（1）设， 22设椭圆 (ab0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l： 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若 (O为原点) ，求k的值.【答案】() ；() 或 23设是坐标原点, 是抛物线的焦点, 是该抛物线上的任意一点,当与轴正方向的夹角为时, .(1)求抛物线的方程；(2)已知,设是该抛物线上的任意一点, 是轴上的两个动点,且，,当计取得最大大值时，求的面积.【答案】(1)；(2)4. 24如图，在平面直角坐标系中，已知点，过直线：左侧的动点作于点，的角平分线交轴于点，且，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点作直线交曲线于两点，点在上，且 轴，试问：直线是否恒过定点？请说明理由.【答案】(1)；(2)答案见解析.直线的斜率为，直线的方程为，即，又，直线的方程为，直线过定点. 25已知为圆：上一动点，过点作轴，轴的垂线，垂足分别为，连接延长至点，使得，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程； （2）直线与圆相切，且与曲线交于两点，直线平行于且与曲线相切于点（位于两侧），求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，则且，