1、广东省汕头市潮阳实验学校2019-2020学年高二数学下学期第一次线上测试试题（含解析）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】集合集合集合故选B.2.设是虚数单位，若，则复数的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，根据两复数相等的充要条件得，即，其共轭复数为，故选A.3.已知等差数列的前项和是，且，则下列命题正确的是A. 是常数B. 是常数C. 是常数D. 是常数【答案】D【解析】，为常数，故选D4.圆心在轴上，半径为1，
2、且过点的圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：设出圆心坐标，利用半径为1，且过点，即可求得结论.详解：设圆心坐标为，圆的半径为1，且过点，解得，所求圆的方程为.故选：C.点睛：本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题.5.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】设，则.，所求的概率为故选A.6.已知点为双曲线：（，）的
3、右焦点，点到渐近线的距离是点到左顶点的距离的一半，则双曲线的离心率为（ ）A. 或B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，即.点到渐近线的距离是点到左顶点的距离的一半，即.，即.双曲线的离心率为.故选B点睛：本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围7.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，
4、则下列命题中正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，且，点，直线，则【答案】C【解析】【分析】根据线面、面面平行与垂直的相关定理依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于，若，存在的情况，错误；对于，若，存在异面的情况，错误；对于，若，则在内分别存在直线与平行，由线面平行的性质可知：，正确；对于，若，则存在直线不垂直于平面，错误.故选：.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，解决此类问题通常采用排除法来解决；涉及到立体几何中线面、面面平行与垂直的判定与性质定理的应用.8.某几何体三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值
5、为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离取最大值时，最大距离相当于一个长宽高分别为2，1，1的长方体的体对角线，进而得到答案【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以侧视图为底面的直四棱柱，在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离取最大值时，最大距离相当于一个长宽高分别为2，1，1的长方体的体对角线，故d=，故选B【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9.已知函数的相邻
6、两个零点差的绝对值为，则函数的图象（ ）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向右平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】B【解析】【详解】，因为函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，所以函数的最小正周期为，而，故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，故选：B.10.是定义在上的奇函数，当时，且，则不等式的解集为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用导函数的形式可确定在上单调递减，根据奇偶性可确定在上单调递增，分别在、和时，利用函数单调性来进行求解.【详解】是上的奇函数，是上的偶函数，当时，在上
7、单调递减；在上单调递增，又，当时，等价于，；当时，等价于，；当时，不满足；综上所述：的解集为.故选：.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够通过导数确定函数的单调性，同时利用奇偶性确定函数在对称区间的单调性，进而利用单调性来求得结果.11.设为坐标原点，点为抛物线：上异于原点的任意一点，过点作斜率为的直线交轴于点，点是线段的中点，连接并延长交抛物线于点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设点，点，则，.过点作斜率为的直线交轴于点，点是线段的中点直线的方程为.联立，解得，即.故选C.12.已知函数是上的偶函数，对于任意都有成立，当，且时，都
8、有给出以下三个命题：直线是函数图像的一条对称轴；函数在区间上为增函数；函数在区间上有五个零点问：以上命题中正确的个数有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用特殊值法分析可得，结合函数的奇偶性可得，进而可得，所以的周期为6；据此分析三个命题，综合即可得答案【详解】解：根据题意，对于任意，都有成立，令，则，又是上的偶函数，所以，则有，所以的周期为6；据此分析三个命题：对于，函数为偶函数，则函数的一条对称轴为轴，又由函数的周期为6，则直线是函数图象的一条对称轴，正确；对于，当，且时，都有，则函数在，上为增函数，因为是上的偶函数，所以函数在，上为减函数，而的周期
9、为6，所以函数在，上为减函数，错误；对于，（3），的周期为6，所以，函数在，上有四个零点；错误；三个命题中只有是正确的；故选：B【点睛】本题考查抽象函数的性质以及应用，关键是求出的值，分析函数的周期与对称性第II卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，且，则_【答案】【解析】向量，且，即故答案为.14.已知，满足约束条件则目标函数的最小值为_【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图所示：联立，解得.由目标函数化为，由图可知过时，直线在轴上的截距最大，此时最小，的最小值为.故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目
10、标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.已知函数f（x）x33x，若过点A（1，m）（m2）可作曲线yf（x）的三条切线，则实数m的取值范围为_【答案】【解析】【详解】设切点为，则切线方程为，整理得：，把代入整理得:，因为可作三条切线，所以有三个解，记，则，当或时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，极大值，当时，极小值，要使有三个零点，只需且，所以，所以答案应填：考点：1、导数的极值；2、导
11、数的应用；3、函数的零点【方法点晴】本题主要考查是导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，根据极值分析函数零点，属于难题首先根据导数的几何意义求得切线斜率，再写出切线方程，代入所过点，则存在三条切线转化为方程有三个解，进而需要通过研究其导数得到极值情况，进而研究函数图象，分析极值与零的关系，得到方程有三个解的情况16.在菱形中， ， ，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球心为，则三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】推导出是等边三角形，过球心O作平面，则为等边的中心，的中点为E，求出，设三棱锥的外接球的半径为R，即，由此能求出三棱锥的外接球的表面积.【详解】四边形是菱
12、形，是等边三角形，过球心O作平面，则为等边的中心，的中点为E，得，在中，由，可得.在中，即，设三棱锥的外接球的半径为R，即，三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查三棱锥、球等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知的内角，的对边，分别满足，又点满足（1）求及角的大小；（2）求的值【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由及正弦定理化简可得即，从而得又，所以，由余弦定理得；（2）由，得 ，所以试题解析：（1）由及正弦定理
13、得，即，在中，所以又，所以在中，由余弦定理得，所以（2）由，得 ，所以18.在数列中，.（1）证明是等差数列；（2）求数列的前项和.【答案】（）详见解析; （）.【解析】试题分析：（1）利用定义，证明等差数列；（2），所以，等比数列，所以 试题解析：（）因为 ，所以数列是首项为，公差为的等差数列 ； （）由（）知数列是首项为，公差为的等差数列，所以，即，所以，易知数列是首项为，公比为的等比数列，所以 19.经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：年龄2832384248
14、525862收缩压（单位114118122127129135140147其中：，（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（的值精确到）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群一位收缩压为的70岁的老人，属于哪类人群？【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)中度高血压人群.【解析】【分析】（1）根据表中数据即可得散点图；（2）由题意求出，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（3）将x=70带入
15、计算，根据题干已知规定即可判断70岁的老人，属于哪类人群【详解】（1）（2），回归直线方程为（3）根据回归直线方程的预测，年龄为70岁的老人标准收缩压约为，收缩压为的70岁老人为中度高血压人群【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数；写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.如图，四棱柱的底面为菱形，为中点.（1）求证：平面；（2）若底面，且直线与平面所成线面角的正弦值为，求的长.【答案】(1)证明见解析；(2
16、)2.【解析】试题分析：（1）设为的中点，根据平几知识可得四边形是平行四边形，即得，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面一个法向量，根据向量数量积求向量夹角，再根据线面角与向量夹角互余关系列等式，解得的长.试题解析：（1）证明：设为的中点，连因为，又，所以，所以四边形是平行四边形，所以又平面，平面，所以平面.（2）因为是菱形，且，所以是等边三角形取中点，则，因为平面，所以，建立如图的空间直角坐标系，令，则，设平面的一个法向量为，则且，取，设直线与平面所成角为，则，解得，故线段的长为2.21.已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的
17、内接正方形面积为2（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点，点的坐标为，问直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由【答案】（1）；（2）定值为.【解析】试题分析：（1）由椭圆的几何性质可得，即可求得，的值，从而可得椭圆的标准方程；（2）联立直线与椭圆的方程得，根据判别式可得的取值范围，设，结合韦达定理，对化简，从而可得出定值.试题解析：（1）由已知可得解得，.故所求椭圆方程为（2）由得，则，解得或设，则，则， ，为定值，且定值为0点睛：（1）解题时注意圆锥曲线定义的两种应用，一是利用定义求曲线方程，二是根据曲线的定义求曲线上的点满足的条件，并进一步解题（
18、2）求定值问题常见的方法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值22.已知函数，其中e为自然对数的底数（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数a的取值范围【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）根据题意，由函数的解析式计算可得，由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在区间上是为单调增函数和单调减函数两种情况讨论，分别求出的取值范围，综合即可得答案；（2）根据题意，对求导分析可得，由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，在区间内存在零点，
19、同理，在区间内存在零点，由（1）的结论，只需在区间内两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，从而可得实数的取值范围.试题解析：（1）由题意得，当函数在区间上单调递增时，在区间上恒成立.（其中），解得；当函数在区间上单调递减时，在区间上恒成立，（其中），解得综上所述，实数的取值范围是（2）由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调.在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点.在区间内恰有两个零点由（1）知，当时，在区间上单调递增，故在区间内至多有一个零点，不合题意当时，在区间上单调递减，故在区间内至多有一个零点，不合题意，令，得，函数在区间上单调递减，在区间内单调递增记的两个零点为， ,，必有，由，得.，又，综上所述，实数的取值范围为点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解