1、课堂探究探究一 复数与点的对应1确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解2确定复数对应点的集合的图形时，首先根据复数与点的对应关系找出点的横坐标、纵坐标之间的关系，再结合平面解析几何的相关知识确定图形形状【典型例题1】 已知复数z(a21)(2a1)i，其中aR.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)(1)在实轴上；(2)在第三象限；(3)在抛物线y24x上思路分析：根据复数与点的对应关系，得到复数的实部与虚部之间的对应关
2、系，建立关于a的方程或不等式求解解：复数z(a21)(2a1)i在复平面内对应的点是(a21,2a1)(1)若z对应的点在实轴上，则有2a10，解得a；(2)若z对应的点在第三象限，则有解得1a；(3)若z对应的点在抛物线y24x上，则有(2a1)24(a21)，即4a24a14a24，解得a.【典型例题2】 试确定在复平面内，满足下列条件的复数zxyi(x，yR)对应的点的集合分别是什么图形(1)y2；(2)1x4；(3)xy；(4)|z|5.思路分析：根据复数满足的条件，获得复数对应点的横、纵坐标之间满足的条件，从而确定点对应的图形解：(1)复数z对应点的坐标是(x，y)，而y2，所以点的
3、集合是一条与实轴平行的直线(2)复数对应的点为(x，y)，而1x4，所以点的集合是夹在垂直于实轴的两条直线之间的一个带形区域(含两边界直线)(3)复数对应的点是(x，y)，而xy，所以点的集合是一条直线，它是复平面的第一、三象限的平分线(4)复数对应的点是(x，y)，而|z|5，即5，所以x2y225，因此点的集合是一个以原点为圆心，半径等于5的圆的内部，包含圆的边界探究二 复数与向量的对应1若O为坐标原点，则向量对应的复数就是点A对应的复数；2一个向量不管怎样平移，它所对应的复数不变，但其终点和起点所对应的复数可能改变【典型例题3】 已知向量对应的复数是43i，点A关于实轴的对称点为A1，将
4、向量平移，使其起点移动到A点，这时终点为A2.(1)求向量对应的复数；(2)求点A2对应的复数思路分析：根据复数与点、复数与向量的对应关系求解解：(1)向量对应的复数是43i，点A对应的复数也是43i，点A坐标为(4,3)，点A关于实轴的对称点A1为(4，3)，故向量对应的复数是43i；(2)依题意知，而(4，3)，设A2(x，y)，则有(4，3)(x4，y3)，x8，y0，即A2(8,0)，点A2对应的复数是8.探究三 复数的模及其计算1复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离；2求复数的模时，应先确定复数的实部与虚部，再套用复数模的计算公式计算求解；3若两个复数相等，它们的模一定相等
5、；反之，两个复数的模相等，这两个复数不一定相等；4两个复数不一定能比较大小，但复数的模一定可以比较大小【典型例题4】 (1)若复数z(a2)2ai的模等于，则实数a的值等于_(2)若复数z(m29)(m22m3)i是纯虚数，其中mR，则|z|_.解析：(1)由已知可得，即5a24a45,5a24a10，解得a1或.(2)由于复数z是纯虚数，所以解得m3.这时z12i，因此|z|12i|12.答案：(1)1或(2)12探究四 共轭复数及其应用复数z的共轭复数用来表示，即若zabi(a，bR)，则abi(a，bR)在复平面内，点Z(a，b)对应复数zabi(a，bR)；点(a，b)对应复数abi(a，bR)，点Z和关于实轴对称【典型例题5】 已知x1yi与i3x是共轭复数，求实数x与y的值思路分析：根据共轭复数及复数相等的概念列方程组求x，y.解：i3x的共轭复数为3xi，所以x1yi3xi，即解得
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