1、2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知集合A=x|x（x1）0，xR，B=x|x2，xR，那么集合AB=（）ABCx|2x2，xRDx|2x1，xR2下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）Ay=x1By=tanxCy=x3D3已知sinx=，则sin2x的值为（）ABC或D或4设xR且x0，则“x1”是“x+2”成立的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面下列命
2、题正确的是（）A若m，n，mn，则B若，m，n，则 mnC若，m，n，则mnD若，=m，nm，则n6已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且+=，|=2|，则等于（）ABCD7已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x）的零点个数是（）A4B3C2D185个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9设平面向量=（1，2），=（2，y
3、），若，则y=10已知角A为三角形的一个内角，且cosA=，sinA=cos2A=11已知a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是12各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为13已知函数f（x）=在（，+）上是具有单调性，则实数m的取值范围14九章算术是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，
4、已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇”试确定离开长安后的第天，两马相逢三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15已知数列an（nN*）是公差不为0的等差数列，若a1=1，且a2，a4，a8成等比数列（）求an的通项公式；（）若bn=，求数列bn的前n项和Sn16已知函数f（x）=asinxcosx（aR）的图象经过点（，0）（）求f（x）的最小正周期；（）若x，求f（x）的取值范围17如图，已知A，B，C，D四点共面
5、，且CD=1，BC=2，AB=4，ABC=120，cosBDC=（）求sinDBC；（）求AD18如图，四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，DEPA（）求证：BCCE；（）若直线m平面PAB，试判断直线m与平面CDE的位置关系，并说明理由；（）若AB=PA=2DE=2，AD=3，求三棱锥EPCD的体积19已知函数f（x）=，aR（）若曲线y=f（x）在点（0，f（0）处切线斜率为2，求函数f（x）的最小值；（）若函数f（x）在区间（0，1）上无极值，求a的取值范围20已知函数f（x）=ax（a+1）lnx，aR（I）若a=2，求函数f（x）的单调区间；（）若a1，且f（x）1在区间，e上恒
6、成立，求a的取值范围；（III）若a，判断函数g（x）=xf（x）+a+1的零点的个数2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知集合A=x|x（x1）0，xR，B=x|x2，xR，那么集合AB=（）ABCx|2x2，xRDx|2x1，xR【考点】交集及其运算【分析】化简集合A，根据交集的定义求出AB即可【解答】解：集合A=x|x（x1）0，xR=x|0x1，xR，B=x|x2，xR，集合AB=x|x1，xR故选：B2下列四个函数中，在其定义域上既是奇函
7、数又是单调递增函数的是（）Ay=x1By=tanxCy=x3D【考点】函数奇偶性的判断【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可【解答】解：Af（x）=x1是非奇非偶函数，不满足条件By=tanx是奇函数，在定义域上函数不是单调函数，不满足条件Cy=x3是奇函数，在定义域上为增函数，满足条件D.是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件故选：C3已知sinx=，则sin2x的值为（）ABC或D或【考点】二倍角的正弦【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosx，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算求值【解答】解：sinx=，cosx=，sin2x=2sinxcosx=2（）=
8、故选：D4设xR且x0，则“x1”是“x+2”成立的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据基本不等式的性质，结合充分不必要条件的定义进行判断即可【解答】解：当x0时，不等式x+2不成立，当x0时，x+2=2，当且仅当x=，即x=1时，取等号，当x1时，不等式x+2成立，反之不一定成立，是充分不必要条件，故选：A5设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面下列命题正确的是（）A若m，n，mn，则B若，m，n，则 mnC若，m，n，则mnD若，=m，nm，则n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】在
9、A中，与相交或平行；在B中，推导出m，所以mn；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，n与相交、平行或n【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，知：在A中，若m，n，mn，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，m，n，则m，所以mn，故B正确；在C中，若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，若，=m，nm，则n与相交、平行或n，故D错误故选：B6已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且+=，|=2|，则等于（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可得三角形是以角A为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边和角，代入数量积公式得答案【解
10、答】解：三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且+=，O为BC的中点，故ABC是直角三角形，A为直角又|=2|，|=，|=2，|=，cosC=，=2=故选：A7已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x）的零点个数是（）A4B3C2D1【考点】函数零点的判定定理【分析】作出函数的图象，先求出f（x）=的根，然后利用数形结合转化为两个函数的交点个数即可【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：当x0时，由f（x）=得x+1=，即x=1=，当x0时，由f（x）=得log2x=，即x=，由g（x）=f（f（x）=0得f（f（x）=，则f（x）=或f（x）=，若f（x）=，此时方程f（x）=有两
11、个交点，若f（x）=，此时方程f（x）=只有一个交点，则数g（x）=f（f（x）的零点个数是3个，故选：B85个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【考点】进行简单的合情推理【分析】5个黑球和4个白球，5为奇数，4为偶数，分析即可得到答案【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9设平面向量=（1，
12、2），=（2，y），若，则y=4【考点】平行向量与共线向量【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式计算【解答】解：=（1，2），=（2，y），1y=2（2）y=4故答案为：410已知角A为三角形的一个内角，且cosA=，sinA=cos2A=【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，求得 sinA和cos2A的值【解答】解：角A为三角形的一个内角，且cosA=，sinA=，cos2A=2cos2A1=21=，故答案为：11已知a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是bca【考点】对数值大
13、小的比较【分析】直接利用中间量“0”，“1”判断三个数的大小即可【解答】解：a=log2.10.60，b=2.10.61，0c=log0.50.61bca，故答案为：bca12各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为【考点】等比数列的前n项和【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程组求出a1和q的值，则S4的值可求【解答】解：若等比数列的公比等于1，由a3=2，则S4=4a3=42=8，5S2=52S3=522=20，与题意不符设等比数列的公比为q（q1），由a3=2，S4=5S2，得：，整理得，解得，q=2
14、因为数列an的各项均为正数，所以q=2则故答案为；13已知函数f（x）=在（，+）上是具有单调性，则实数m的取值范围（1，【考点】函数单调性的性质【分析】函数f（x）在（，+）上是具有单调性，需要对m分类讨论，当m1，m1，m=1、0，1m0，0m1分别判断分段函数的单调性【解答】解：令 h（x）=mx2+1，x0；g（x）=（m21）2x，x0；当 m1时，要使得f（x）在（，+）上是具有单调性，即要满足m211m故：1m；当 m1时，h（x）在x0上递减，g（x）在x0上递增，所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；当 m=1时，g（x）=0；当m=0时，h（x）=1；所以，f（x）
15、在R上不具有单调性，不符合题意；当1m0 时，h（x）在x0上递减，g（x）在x0上递减，对于任意的x0，g（x）0；当x0时，h（x）0；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；当0m1时，h（x）在x0上递增，g（x）在x0上递减；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；故答案为：（1，14九章算术是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一
16、天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇”试确定离开长安后的第20天，两马相逢【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为an，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为bn，其中b1=97，d=0.5；设第m天相逢，则a1+a2+am+b1+b2+bm=103m+97m+=200m+12.523000，化为m2+31m9600，解得m，取m=20故答案为：20三、解答题：本大题共6小题，共80
17、分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15已知数列an（nN*）是公差不为0的等差数列，若a1=1，且a2，a4，a8成等比数列（）求an的通项公式；（）若bn=，求数列bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）a2，a4，a8成等比数列，可得再利用等差数列的通项公式即可得出（）bn=，利用“裂项求和方法”即可得出【解答】解：（）设an的公差为d，因为a2，a4，a8成等比数列，所以即，即d2=a1d又a1=1，且d0，解得d=1所以有an=a1+（n1）d=1=（n1）=n（）由（）知：则即16已知函数f（x）=asinxcosx（aR）的图象经过点（，0）（）求f
18、（x）的最小正周期；（）若x，求f（x）的取值范围【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（）根据函数f（x）的图象过点，代入函数解析式求出a的值，从而写出函数解析式并求出最小正周期；（）根据x的取值范围，计算f（x）的最值，从而求出它的取值范围【解答】解：（）因为函数的图象经过点，所以，解得 a=1； 所以，所以f（x）最小正周期为T=2； （）因为，所以；所以当，即时，f（x）取得最大值，最大值是2；当，即时，f（x）取得最小值，最小值是1；所以f（x）的取值范围是1，2 17如图，已知A，B，C，D四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，ABC=120，cosBDC=（
19、）求sinDBC；（）求AD【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）利用已知及同角三角函数基本关系式可求，进而利用正弦定理即可求得sinDBC的值（）在BDC中，由余弦定理可求DB的值，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用两角差的余弦函数公式可求cosABD的值，在ABD中，由余弦定理可求AD的值【解答】（本小题满分13分）解：（）在BDC中，因为，所以由正弦定理得， （）在BDC中，由BC2=DC2+DB22DCDBcosBDC，得， 所以解得或（舍）由已知得DBC是锐角，又，所以所以cosABD=cos=cos120cosDBC+sin120sinDBC=在ABD中，因为AD2=AB2+
20、BD22ABBDcosABD=，所以 18如图，四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，DEPA（）求证：BCCE；（）若直线m平面PAB，试判断直线m与平面CDE的位置关系，并说明理由；（）若AB=PA=2DE=2，AD=3，求三棱锥EPCD的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（）推导出DEBC，BCCD，由此能证明BCCE（）推导出DE平面PAB，CD平面PAB，从而平面PAB平面CDE，从而得到m平面CDE （）三棱锥EPCD的体积等于三棱锥PCDE的体积，由此能求出三棱锥EPCD的体积【解答】（本小题满分14分）证明：（）因为PA底面ABCD，P
21、ADE所以DE底面ABCD所以DEBC又因为底面ABCD为矩形，所以BCCD又因为CDDE=D，所以BC平面CDE所以BCCE 解：（）若直线m平面PAB，则直线m平面CDE证明如下，因为PADE，且PA平面PAB，DE平面PAB，所以DE平面PAB在矩形ABCD中，CDBA，且BA平面PAB，CD平面PAB，所以CD平面PAB又因为CDDE=D，所以平面PAB平面CDE又因为直线m平面PAB，所以直线m平面CDE （）由题意知，三棱锥EPCD的体积等于三棱锥PCDE的体积由（）可知，BC平面CDE又因为ADBC，所以AD平面CDE易证PA平面CDE，所以点P到平面CDE的距离等于AD的长因为
22、AB=PA=2DE=2，AD=3，所以所以三棱锥EPCD的体积 19已知函数f（x）=，aR（）若曲线y=f（x）在点（0，f（0）处切线斜率为2，求函数f（x）的最小值；（）若函数f（x）在区间（0，1）上无极值，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）先求出函数的导函数令x的值为0代入其中得到f（0）=2即切线方程的斜率为2，即可求出a的值，再利用导数和函数的最值的关系即可求出最小值，（）求出函数的导函数，f（x）在区间（0，1）上无极值，则函数f（x）在（0，1）单调，分类讨论，求出函数的单调性即可求出a的取值范围【解答】解：（）因为，所以
23、依题意，f（0）=2，解得a=1所以，当x2时，f（x）0，函数f（x）为增函数；当x2时，f（x）0，函数f（x）为减函数；所以函数f（x）的最小值是（）因为，所以（1）若a=0，则此时f（x）在（0，1）上单调递减，满足条件（2）若a0，令f（x）=0得（）若，即0a1，则f（x）0在（0，1）上恒成立此时f（x）在（0，1）上单调递减，满足条件（）若，即a1时，由f（x）0得；由f（x）0得此时f（x）在上为增函数，在上为减，不满足条件（）若即a0则f（x）0在（0，1）上恒成立此时f（x）在（0，1）上单调递减，满足条件综上，a120已知函数f（x）=ax（a+1）lnx，aR（I）若
24、a=2，求函数f（x）的单调区间；（）若a1，且f（x）1在区间，e上恒成立，求a的取值范围；（III）若a，判断函数g（x）=xf（x）+a+1的零点的个数【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）当a=2时，对f（x）求导，求出导函数的零点，即可判断单调区间；（2）若a1，且f（x）1在区间，e上恒成立，即：f（x）在，e上的最小值大于1；利用导数求判断函数f（x）的最小值（3）分类讨论判断g（x）的单调性与函数的最小值，从而验证g（x）在区间（0，+）上单调递增再构造新函数h（a）=e3a（2lna+6），证明h（a）0，进而判断函数g（x）是否穿过x轴
25、即可【解答】解：（）若a=2，则，x（0，+）由f（x）0得，0x1；由f（x）0得，x1所以函数f（x）的单调增区间为（0，1）；单调减区间为（1，+）（）依题意，在区间上f（x）min1.，a1令f（x）=0得，x=1或若ae，则由f（x）0得，1xe；由f（x）0得，所以f（x）min=f（1）=a11，满足条件；若1ae，则由f（x）0得，或1xe；由f（x）0得，.，依题意，即，所以2ae若a=1，则f（x）0所以f（x）在区间上单调递增，不满足条件；综上，a2（ III）x（0，+），g（x）=ax2（a+1）xlnx+（a+1）x1所以g（x）=2ax（a+1）lnx设m（x）=2ax（a+1）lnx，令m（x）=0得当时，m（x）0；当时，m（x）0所以g（x）在上单调递减，在上单调递增所以g（x）的最小值为因为，所以所以g（x）的最小值从而，g（x）在区间（0，+）上单调递增又，设h（a）=e3a（2lna+6）则令h（a）=0得由h（a）0，得；由h（a）0，得所以h（a）在上单调递减，在上单调递增所以所以h（a）0恒成立所以e3a2lna+6，所以又g（1）=2a0，所以当时，函数g（x）恰有1个零点2016年11月25日