1、42单位圆与周期性学习目标1.掌握正弦、余弦函数的定义，理解正弦函数、余弦余数都是周期函数.2.会利用正弦、余弦函数的周期性把求任意角的正弦、余弦值转化为0360求值知识链接设f(x)sin x，请判断以下说法是否成立，并说明理由(1)当x时，ff(x)；(2)当x时，ff(x)；(3)T是函数f(x)sin x的周期答(1)当x时，sinsin成立(2)不成立当x时，sin；sin，ff(x)(3)T不是函数f(x)sin x的周期，周期函数的定义是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(xT)f(x)不能说T是f(x)的周期预习导引1三角函数的定义域正弦函数ysin x的定义域
2、是R；余弦函数ycos x的定义域是R.2正、余弦函数的周期性sin(k2)sin_，kZ；cos(k2)cos_，kZ.由此我们可以得到如下结论：(1)正弦函数、余弦余数都是周期函数，2k (kZ且k0)都是它们的周期(2)终边相同的角的同一三角函数的值相等3周期函数的有关概念(1)周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在非零实数T，任取定义域内的任意一个x值，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就称为周期函数，T称为这个函数的周期(2)最小正周期2是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期要点一单位圆及其应用例1根据下列三角函数值，作出角的终边，然后求角的取值集合(1)si
3、n ；(2)cos .解(1)已知角的正弦值，可知P点纵坐标为.所以在y轴上取点.过这点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角的终边，因而角的集合为|2k或2k，kZ(2)因为角的余弦值为，所以在x轴上取点，过该点作x轴的垂线，交单位圆于P1、P2两点，OP1，OP2是所求角的终边，的取值集合为|2k，kZ规律方法(1)确定已知角的终边，对于以后研究三角函数很有用处(2)利用单位圆，可以非常直观方便地求出形如sin xm或sin xm的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用跟踪演练1在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：(1)sin ；(2
4、)cos .解(1)作直线y交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图阴影部分)即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为|2k2k，kZ(2)作直线x交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为要点二利用周期求值例2求下列角的三角函数值(1)cos(1 050)；(2)cos；(3)sin()解(1)1 050336030，1 050的角与30的角终边相同，cos(1 050)cos 30；(2)32，角与角的终边相同，coscos；(3)42，角与角的终边相同，sin()sin.规律方法利用周期性可
5、把负角的三角函数化为0到2间的三角函数，也可把大于2的角的三角函数化为0到2间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”同时要熟记特殊角的三角函数值跟踪演练2求下列各式的值(1)sincoscos()；(2)sin 810cos 765sin 1 125cos 180sin(2 010)解(1)原式sincoscossincoscos.(2)原式sin(236090)cos(236045)sin(336045)cos 180sin(6360150)sin 90cos 45sin 45cos 180sin 1501(1).要点三周期求法例3求下列三角函数的周期：(1)y3cos x，xR；(2)ys
6、in 2x，xR；(3)y2sin ，xR.解(1)3cos(x2)3cos x，自变量x只要并且至少要增加到x2，函数y3cos x，xR的值才能重复出现，所以，函数y3cos x，xR的周期是2.(2)sin(2x2)sin 2(x)sin 2x，自变量x只要并且至少要增加到x，函数ysin 2x，xR的值才能重复出现，所以，函数ysin 2x，xR的周期是.(3)2sin2sin2sin，自变量x只要并且至少要增加到x4，函数y2sin，xR的值才能重复出现，所以，函数y2sin，xR的周期是4.规律方法对于形如函数yAsin(x)，0时的周期求法常直接利用T来求解，对于y|Asin x
7、|的周期情况常结合图像法来求解跟踪演练3求下列函数的周期：(1)ycos 2x；(2)ysin；(3)y|cos x|.解(1)T； (2)T4；(3)T2.1sin(1 380)的值为()A B. C D.答案D解析sin(1 380)sin (360460)sin 60.2下列函数中，周期为的是()Aysin Bysin 2xCycos Dycos(4x)答案D解析函数ycos(4x)中T.35sin 9010cos 1803sin 2704cos 420_.答案0解析原式5110(1)3(1)4cos 60510320.4已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)2，f(x3)f(x)，则f
8、(8)_.答案2解析f(x3)f(x)，f(x)是周期函数，3就是它的一个周期，且f(x)f(x)f(8)f(223)f(2)f(13)f(1)f(1)2.1.正、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等作用是把求任意角的三角函数值转化为求02(或0360)角的三角函数值2求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(xT)f(x)成立的T.(2)图像法，即作出yf(x)的图像，观察图像可求出T.如y|sin x|.(3)结论法，一般地，函数yAsin(x)(其中A、为常数，A0，0，xR)的周期T.一、基础达标1sin
9、 390等于()A. B C D.答案D2函数f(x)sin，xR的最小正周期为()A. B C2 D4答案D3函数f(x)sin的最小正周期为，其中0，则等于()A5 B10 C15 D20答案B4下列函数中，不是周期函数的是()Ay|cos x| Bycos|x|Cy|sin x| Dysin|x|答案D解析画出ysin|x|的图像，易知5函数y3sin的最小正周期为_答案解析T.6已知奇函数yf(x)(xR)且f(x)f(x4)，f(1)2，则f(2)f(3)f(4)_.答案2解析yf(x)为奇函数且在x0有定义，f(0)0.f(4)f(0)0，f(3)f(1)f(1)2.f(2)f(2
10、)f(2)，f(2)0.f(2)f(3)f(4)0(2)02.7解不等式组解由即如图所示，由三角函数定义可得：此交集恰好为图形中的阴影重叠部分，即2kx2k，kZ.故不等式组的解集为x|2kx0，sin x0，xk，kZ.函数的定义域为x|xk，kZ0|sin x|1，log2|sin x|0，函数的值域为y|y0(2)f(x)log2|sin(x)|log2|sin x|f(x)，函数f(x)是周期函数，且最小正周期是.三、探究与创新13已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)(f(x)0)(1)求证：函数f(x)是周期函数；(2)若f(1)5，求f(f(5)的值(1)证明f(x2)，f(x4)f(x)，f(x)是周期函数，4就是它的一个周期(2)解4是f(x)的一个周期f(5)f(1)5，f(f(5)f(5)f(1).
