1、F单元平面向量 目录F单元平面向量1F1平面向量的概念及其线性运算1F2平面向量基本定理及向量坐标运算1F3平面向量的数量积及应用1F4 单元综合1 F1平面向量的概念及其线性运算【数学理卷2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（201411）】7在中，点在上，且，点是的中点，若，则（ ）A B C D【知识点】平面向量的线性运算.F1【答案】【解析】B 解析：根据题意画出图形如下：,即，解得，则，故选B。【思路点拨】先利用平行四边形法则求出向量，再利用可得结果。【数学文卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】3、已知平面向量的夹角为，且，在中，D 为BC的中点
2、，则（ ）A2 B4 C6 D8【知识点】向量的运算. F1 F3 【答案】【解析】A解析：因为，所以 ，故选A.【思路点拨】根据向量加法的平行四边形法则得，再利用模与数量积的关系，把求模问题转化为数量积运算.F2平面向量基本定理及向量坐标运算【湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学2015届高三10月四校联考数学（文）答案】14.如图，平面内有三个向量,其中与与的夹角为，与的夹角为，且，=2，若=+（，）则+的值为 【知识点】平面向量基本定理F2【答案解析】6 过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由BOC=90，AOC=30，由=2得平行四边形的边长为2和4，+=2+4
3、=6故答案为6【思路点拨】过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，然后将向量用向量与向量 表示出即可【数学理卷2015届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（201411）(1)】10.已知直线，且(其中O为坐标原点)，则实数的值为（ ） A.2 B. C.2或-2 D.【知识点】向量的运算.F2【答案】【解析】C 解析：以，为邻边作平行四边形，则所以平行四边形为距形，又，所以四边形为正方形，a0，直线x+y=a经过点（0，2），a=2故答案为：2【思路点拨】以OA、OB为邻边作，由已知得为正方形，由此能求出a=2.【数学理卷2015届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试（2
4、01411）】4. 已知向量与不共线，且，若三点共线，则实数满足的条件是（ ）. . 【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2【答案解析】C 由，且A、B、D三点共线，所以存在非零实数，使=，即，所以，所以mn=1故答案为C【思路点拨】因为与 共起点A，所以要使A、B、D三点共线，只需存在非零实数，使 =成立即可，代入整理后可得mn的值【数学文卷2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】14在中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，则 【知识点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义；平面向量数量积的运算F2 F3【答案】【解析】 解析：根据向量的加减法法则有
5、：，,此时，故答案为。【思路点拨】由中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，我们易将中两个向量变形为，然后再利用向量数量积的计算公式，代入即可得到答案【数学文卷2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】5若，且，那么与的夹角为（ ）A B C D【知识点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系F2 F3【答案】【解析】B 解析：，且，即，展开得：，整理得：1+12=0解得：，故向量与的夹角为120，故选B.【思路点拨】根据三个向量的关系，通过向量夹角公式求出结果【数学文卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】16、在直角
6、梯形中， ，点是梯形内或边界上的一个动点，点是边的中点，则的最大值是 【知识点】向量的坐标运算；简单的线性规划问题. E5 F2 F3【答案】【解析】6解析：以A我原点，直线AB 为x轴，直线AD为y轴，建立直角坐标系，则，设，则=x+2y,由图可知点C(2，2)为取得最大值的最优解，所以的最大值是6.【思路点拨】建立直角坐标系，把向量的数量积用坐标表示，再用线性规划求解.【数学文卷2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（201411）】16（本小题满分12分）设平面向量，函数（1）求函数的值域和函数的单调递增区间； （2）当,且时，求的值.【知识点】平面向量数量积的运算；函数y=A
7、sin（x+）的图象变换C4 F2【答案】【解析】（1）（2） 解析：依题意.2分（1） 函数的值域是；.4分令，解得.7分所以函数的单调增区间为。.8分（2） 由得，因为，所以，得.10分.12分【思路点拨】（1）根据数量积的坐标运算，求出函数f（x）的表达式，然后利用三角函数的图象和性质求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间；（2）根据正弦函数的二倍角公式进行计算即可【数学文卷2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（201411）】6若向量，则（ ） A. B. C. D.【知识点】向量的坐标运算.F2【答案】【解析】C 解析：因为，所以,则,故选C。【思路点拨】利用向量的坐标
8、运算公式即可。F3平面向量的数量积及应用【湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学2015届高三10月四校联考数学（文）答案】12 平面向量与的夹角为，=（2,0），=1，则= 【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案解析】2由已知|=2，=+4+42=4+421cos60+4=12=2.【思路点拨】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方【数学（文）卷2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411）word版】11.已知向量，且，则x=_.【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系F3 【答
9、案】【解析】0 解析：，且，解之可得x=0故答案为0.【思路点拨】由题意可得，解之即可【数学理卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】16.（本小题满分12分） 在ABC中，角A，B，C的对边分别为，且bcos C= 3acos B- ccos B (1)求cos B的值； (2)若，且，求和的值【知识点】 正弦定理；余弦定理；向量的数量积. C8 F3 【答案】【解析】（1）；（2）.解析：（1）由正弦定理得则，故，可得即，可得.又因此.（6分）（2）由，可得，又，故，由，可得，所以，即所以.（12分）【思路点拨】(1)把正弦定理代入已知等式，利用两角和与差的三角函
10、数和诱导公式化简得所求；（2）由数量积得定义和（1）的结论，求得，再根据余弦定理求得a,c值.【数学理卷2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（本小题满分12分）已知中，记（1）求解析式并标出其定义域；（2）设，若的值域为，求实数的值【知识点】平面向量数量积的运算；正弦定理C8 F3【答案】【解析】（1）；（2）。解析：（1）由正弦定理有：；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，； -6分（2），。 当时，的值域为。又的值域为 解得 综上 -12分【思路点拨】（1）利用正弦定理可得BC
11、，AB，再利用数量积运算可得f（x），利用三角形的内角和定理可得其定义域；（2）对m分类讨论，利用正弦函数的单调性即可得出【数学理卷2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】2已知向量m(1，1)，n(2，2)，若(mn)(mn)，则（ ）A4 B3 C2 D1【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系F3【答案】【解析】B 解析：由向量得，由，得解得：故选B。【思路点拨】由向量的坐标加减法运算求出，的坐标，然后由向量垂直的坐标运算列式求出的值【数学理卷2015届山东省泰安市高三上学期期中考试（201411）】16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点.（I）求；
12、（II）设实数t满足，求t的值.【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案解析】(1）3，2（2）-1(1）A（1，4），B（-2，3），C（2，-1）=（-3，-1），=（1，-5），+=（-2，-6），=-31+（-1）（-5）=3，|+|=2（2）()，=0,即-=-32+（-1）（-1）=-5，=22+（-1）2=5，-5-5t=0，t=-1【思路点拨】（1）利用向量数量积坐标运算及求模公式即可得出结论；（2）根据题意可得：=0，再结合向量垂直的坐标表示可得关于t的方程，进而解方程即可得到t的值【数学理卷2015届山东省泰安市高三上学期期中考试（201411）】12.已知向量的夹角为4
13、5，且 .【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案解析】3 因为、的夹角为45，且|=1，|2-|=，所以42-4+2=10，即|2-2|-6=0，解得|=3或|=-（舍）故答案为3【思路点拨】将|2-|=平方，然后将夹角与|=1代入得到|的方程，解方程可得【数学文卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】20.（本小题满分13分） 已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且椭圆以抛物线y2 =16x的焦点为其一个焦点，以双曲线的焦点为顶点. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点A(-1,0),B(1,0)，且C，D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点P是线段CD上的动
14、点，求的取值范围；（3）试问在圆上是否存在一点M，使F1MF2的面积（其中a为椭圆的半长轴长，b为椭圆的半短轴长，F1，F2为椭圆的两个焦点），若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【知识点】 椭圆的方程；向量数量积坐标运算；三角形的面积公式. H5 F3 【答案】【解析】（1）；（2）；（3）存在点M且=2.解析：（1）因为抛物线y2=16x的焦点坐标和双曲线的焦点分别为(4,0)和(5,0).所以所以椭圆的标准方程：.（3分）（2）设，则则当OPCD时，取到最小值，即：当点P在D点时，取到最大值：OD=5.所以：.（7分）（3）如图所示：由第一问可知，圆的方程为.F1MF2的面积设M(x,
15、y),又F1MF2的面积又F1(-4,0),F2(4,0)，设直线MF2的倾斜角为，直线MF1的倾斜角为，则即的值为2.（13分） 【思路点拨】(1)由已知得椭圆中的参数a,b,c的值即可；（2）求得线段CD方程，设出点得向量坐标，从而得，再化为关于的函数，由得的取值范围；（3）由（1）得出圆的方程为.F1MF2的面积不妨设M在x轴上方，结合图形可得点M的纵坐标，进一步求得的三角函数值.【数学文卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】18.（本小题满分12分）设记(1)求函数的最小正周期；（2）试用“五点法”画出函数在区间的简图，并指出该函数的图象可由的图象经过怎样的
16、平移和伸缩变换得到；（3）若时，函数的最小值为2，试求出函数的最大值并指出x取何值时，函数取得最大值.【知识点】 向量的数量积；二倍角公式；两角和与差的三角函数；函数的图像与性质；F3 C6 C5 C4 【答案】【解析】（1）；（2）见解析；（2）时取得最大，最大值为解析：（1）， （3分）（2）x0010-10y向左平移得到，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的变为，最后再向上平移个单位得到.（8分）（3）当即时取得最大，最大值为（12分） 【思路点拨】（1）利用向量数量积得坐标公式，二倍角公式，两角和与差的三角函数公式，求得，从而得函数的最小正周期；（2）计算时的范围，从而确定“五点法”中
17、的关键点，然后列表、描点、画出图像；可以将的图像先平移再横伸缩变换得y图像.也可以先进行横伸缩变换再 进行平移变换得y图像；（3）先计算时的范围，从而得最值关于m的表达式，进而求得结论.【数学文卷2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】19.（本小题满分13分）已知在ABC中，三条边a,b、c所对的角分别为A、B,C，向量m=（sinA，cosA），n（cosB，sinB），且满足mnsin2C.（1）求角C的大小；(2)若sinA,sinC, sinB成等比数列，且，求边c的值并求ABC外接圆的面积。【知识点】平面向量的数量积；等比数列的性质；正弦定理.D3 F3 C8
18、【答案】【解析】（1）；（2） 解析：（1）mnsin2C. （2）sinA,sinC, sinB成等比数列 设外接圆的半径为，由正弦定理可知： 【思路点拨】（1）根据向量的数量积公式可得结果；（2）先根据等比数列的性质求出c，再利用正弦定理即可。【数学文卷2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】14在中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，则 【知识点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义；平面向量数量积的运算F2 F3【答案】【解析】 解析：根据向量的加减法法则有：，,此时，故答案为。【思路点拨】由中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，我们易将中两个向
19、量变形为，然后再利用向量数量积的计算公式，代入即可得到答案【数学文卷2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】5若，且，那么与的夹角为（ ）A B C D【知识点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系F2 F3【答案】【解析】B 解析：，且，即，展开得：，整理得：1+12=0解得：，故向量与的夹角为120，故选B.【思路点拨】根据三个向量的关系，通过向量夹角公式求出结果【数学文卷2015届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试（201411）】12.已知向量，且，则实数等于_【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案解析】9 ，由得，解得：故答案9
20、【思路点拨】根据向量的数量积求出x值。【数学文卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】16、在直角梯形中， ，点是梯形内或边界上的一个动点，点是边的中点，则的最大值是 【知识点】向量的坐标运算；简单的线性规划问题. E5 F2 F3【答案】【解析】6解析：以A我原点，直线AB 为x轴，直线AD为y轴，建立直角坐标系，则，设，则=x+2y,由图可知点C(2，2)为取得最大值的最优解，所以的最大值是6.【思路点拨】建立直角坐标系，把向量的数量积用坐标表示，再用线性规划求解.【数学文卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】3、已知平面向量的夹角为，且，在中
21、，D 为BC的中点，则（ ）A2 B4 C6 D8【知识点】向量的运算. F1 F3 【答案】【解析】A解析：因为，所以 ，故选A.【思路点拨】根据向量加法的平行四边形法则得，再利用模与数量积的关系，把求模问题转化为数量积运算.【数学文卷2015届山东省泰安市高三上学期期中考试（201411）】16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点.（I）求；（II）设实数t满足，求t的值.【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案解析】(1）3，2（2）-1(1）A（1，4），B（-2，3），C（2，-1）=（-3，-1），=（1，-5），+=（-2，-6），=-31+（-1）（-5）=3，|
22、+|=2（2）()，=0,即-=-32+（-1）（-1）=-5，=22+（-1）2=5，-5-5t=0，t=-1【思路点拨】（1）利用向量数量积坐标运算及求模公式即可得出结论；（2）根据题意可得：=0，再结合向量垂直的坐标表示可得关于t的方程，进而解方程即可得到t的值【数学文卷2015届山东省泰安市高三上学期期中考试（201411）】13.已知向量的夹角为45，且 .【知识点】平面向量的数量积及应用F3【答案解析】3 因为、的夹角为45，且|=1，|2-|=，所以42-4+2=10，即|2-2|-6=0，解得|=3或|=-（舍）故答案为3【思路点拨】将|2-|=平方，然后将夹角与|=1代入得到
23、|的方程，解方程可得F4 单元综合【数学文卷2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试（201411）】16在中， ，是的中点，若，在线段上运动， 则下面结论正确的是 是直角三角形； 的最小值为；的最大值为； 存在使得 【知识点】单元综合F4【答案解析】, 设|AC|=x，则由余弦定理得（2）=22+x2-22xcos60，即12=4+x2-2x，x2-2x-8=0，解得x=4或x=-2（舍去），|AC|=4，B=90，即ABC是直角三角形，正确将直角三角形ABC放入坐标系中，则B（0，0），A（0，2），M（0，1），C（2，0），则=(2，-2)，设=m=(2m，-2m)，0m1，设D（x，y），则（x，y-2）=（2m，-2m），解得x=2m，y=2-2m，即D（2m，2-2m）则=(-2m，2m-2)，=(-2m，2m-1)，=（-2m）2+（2m-2）（2m-1）=16m2-6m+2=16（m-）2+，当m=时，的最小值为，正确由知=16m2-6m+2=16（m-）2+，0m1，当m=1时，的最大值为16-6+2=12，错误=(2m，2-2m)，=（0，2），=（2，0），若=+（1-）则（2m，2-2m）=（0，2）+（1-）（2，0），即，解得，此时=1-m，0m1，01，即存在0，1使得=+（1-）正确故答案为：【思路点拨】根据余弦定理
