1、课时素养评价 三十五利用函数性质判定方程解的存在性 (15分钟30分)1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为()A.,0B.-2,0C.D.0【解析】选D.当x1时,由f(x)=0,得2x-1=0,所以x=0.当x1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x=,不成立,所以函数的零点为0.2.函数f(x)=x2+ln x-4的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B.因为f(1)=12+ln 1-4=-30,又函数f(x)在定义域内单调递增,所以f(x)的零点在(1,2)内.3.函数f(x)=x3-的零点个数是()A.0B.1C.2D
2、.无数个【解析】选B.作出y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)只有一个零点.4.若函数f(x)=ax2-x+2只有一个零点,则实数a的取值集合是.【解析】当a=0时,f(x)=-x+2,令f(x)=0,解得x=2,所以函数只有一个零点2,符合题意;当a0时,由函数只有一个零点可得=(-1)2-4a2=0,即1-8a=0,解得a=.综上a=或a=0.答案:5.判断方程log2x+x2=0在区间上有没有实数根?为什么?【解析】设f(x)=log2x+x2,f=log2+=-1+=-0,即ff(1)0,函数f(x)=log2x+x2的图象在区间上是连续的,因此
3、,f(x)在区间上有零点,即方程log2x+x2=0在区间上有实根. (20分钟40分)一、单选题(每小题5分,共15分)1.若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(b,c)和(c,+)内B.(-,a)和(a,b)内C.(a,b)和(b,c)内D.(-,a)和(c,+)内【解析】选C.因为ab0,f(b)=(b-c)(b-a)0,所以f(x)的零点分别位于(a,b)和(b,c)内.2.(2020浙江高考)已知a,bR且ab0,若(x-a)(x-b)(x-2a-b)0在x0上恒成立,则()A.a0C.b0【解析】选
4、C.由于ab0则a0且b0,根据y=(x-a)(x-b)(x-2a-b)的零点为a,b,2a+b的情况可确定是否满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)0在x0上恒成立.若a0,b0,则2a+b0,满足;若a0,则b2a+b,不满足;若a0,b0,则2a+b0,不满足;若a0,b0,则a=2a+b即a+b=0时满足,综上,只有选项C符合.3.(2018全国卷)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.-1,0)B.0,+)C.-1,+)D.1,+)【解析】选C.函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个
5、不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a1,解得a-1.【补偿训练】已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是()A.(0,+)B.(0,1C.(1,+)D.(-,1)【解析】选B.作出函数f(x)的图象,由图象知,当0k1时, y=k与y=f(x)的图象有两个交点,此时方程f(x)=k有两个不等实根,所以00B.f(x1)0D.f(x2)1.因为x1(1,x0),x2(x0,+),所以由函数图象可知,f(x1)0.三、填空题(每小题5分,共10分)5.若方程|x2-
6、4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是.【解析】由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象,则由图象可知,要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则0a0时,f(x)=3x+11,函数无零点;要使函数f(x)有且仅有1个零点,则f(x)=a-2x在(-,0上有且仅有1个零点.画出函数y=a与函数y=2x(x0)的图象,如图所示.因为当x0时,2x(0,1,所以a(0,1.答案:(0,16.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+)上是增函数,则该函数有个零点,这几个零点的和等于.【解析】因为函数f(x
7、)是定义域为R的奇函数,且在(0,+)上是增函数,所以f(0)=0.又因为f(-2)=0,所以f(2)=-f(-2)=0,故该函数有3个零点,这3个零点之和等于0.答案:30四、解答题7.(10分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x0).(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)试确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【解析】(1)作出g(x)=x+(x0)的图象如图:可知若g(x)=m有零点,则有m2e.故m的取值范围为m|m2e.(2)g(x)-f(x)=0有两个相异实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.在同一平面直角坐标系中,作出g(x)=x+(x0)和f(x)的图象,如图.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,其图象的对称轴为直线x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个不同的交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根,所以m的取值范围是m-e2+2e+1.