1、第一讲 三角函数的图象与性质年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018卷与三角函数有关的最值求法T16高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在612 题或第 1415 题位置上，命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题.卷三角函数的单调性应用T102017卷三角函数的图象变换T9卷三角函数的最值问题T14卷三角函数的性质T62016卷三角函数的性质T12卷三角函数的图象变换与性质T7卷三角函数的图象变换T14函数 yAsin(x)的图象与变换授课提示：对应学生用书第
2、 19 页悟通方法结论函数 yAsin(x)的图象(1)“五点法”作图：设 zx，令 z0，2，32，2，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点、连线可得(2)图象变换：ysin x向左0或向右0倍横坐标不变yAsin(x)全练快速解答1(2017高考全国卷)已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin2x23，则下面结论正确的是()A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2C把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的1
3、2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2解析：易知 C1：ycos xsinx2，把曲线 C1 上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数 ysin2x2 的图象，再把所得函数的图象向左平移 12个单位长度，可得函数 ysin2x 12 2 sin2x23 的图象，即曲线 C2，故选 D.答案：D2(2018南昌模拟)函数 ysinx26 的图象可以由函数 ycos x2的图象()A向右平移3个单位长度得到B向右平移23 个单位长度得到C向左
4、平移3个单位长度得到D向左平移23 个单位长度得到解析：由 ycos x2sinx22，ysin12x23 2 sinx26，知函数 ysinx26的图象可以由 ycos x2的图象向右平移23 个单位长度得到答案：B3(2018益阳、湘潭联考)若将函数 f(x)2sinx6 的图象向右平移4个单位长度，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的 2 倍，得到函数 g(x)的图象，则函数 g(x)图象的一条对称轴的方程为()Ax 12Bx724Cx712Dx76解析：将函数 f(x)2sinx6 的图象向右平移4个单位长度，得到 fx4 2sinx46 2sinx 12 的图象，再把所得图象上的点
5、的横坐标扩大到原来的 2 倍，得到函数 g(x)2sin12x 12 的图象令12x 122k，kZ，解得 x76 2k，kZ.当 k0 时，函数 g(x)图象的一条对称轴的方程为 x76，故选 D.答案：D4(2018唐山模拟)将函数 y 3cos 2xsin 2x 的图象向右平移3个单位长度，所得图象对应的函数为 g(x)，则 g(x)()A2sin 2xB2sin 2xC2cos2x6D2sin2x6解析：因为 y 3cos 2xsin 2x2cos2x6，将其图象向右平移3个单位长度得到g(x)2cos2x3 6 2cos2x2 2sin 2x 的图象答案：A在图象变换过程中务必分清是
6、先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向由图象求 yAsin(x)的解析式授课提示：对应学生用书第 20 页悟通方法结论 函数 yAsin(x)解析式的确定利用函数图象的最高点和最低点确定 A，利用周期确定，利用图象的某一已知点确定.全练快速解答1(2018郑州模拟)将函数 f(x)的图象向左平移6个单位长度后得到函数 g(x)的图象如图所示，则函数 f(x)的解析式是()Af(x)sin2x6(xR)Bf(x)sin2x6(xR)Cf(x)sin2x3(xR)Df(x)sin2x3(xR)解析
7、：依题意，设 g(x)sin(x)，其中 0，|0，0,0)，其导数 f(x)的图象如图所示，则 f 2 的值为()A2 2B.2C 22D 24解析：依题意得 f(x)Acos(x)，结合函数 yf(x)的图象可知，T2438 8，2.又 A1，因此 A12.因为 0，34 34 0，0，0)的部分图象如图所示，则 _.解析：由函数图象得 A2，所以 y2sin(x)，因为图象过点(0，1)，所以 sin 12，因为 x0 位于图象的单调递减区间，所以 2k56(kZ)，又0，|2，x4为 f(x)的零点，x4为 yf(x)图象的对称轴，且 f(x)在18，536 上单调，则 的最大值为()
8、A11B9C7D5解析：由题意得4k1，k1Z，4k22，k2Z，则 2k1，kZ，4或 4.又函数 f(x)在(8，536)上单调，所以 12122，即 12.若 11，则 4，此时 f(x)sin11x4，f(x)在区间18，344 上单调递增，在区间344，536 上单调递减，不满足f(x)在区间18，536上单调；若 9，则 4，此时 f(x)sin9x4，满足 f(x)在区间18，536 上单调递减，故选B.答案：B1三角函数单调性的求法：求形如 yAsin(x)(或 yAcos(x)(A、为常数，A0，0)的单调性的一般思路是令 xz，则 yAsin z(或 yAcos z)，然后
9、由复合函数的单调性求解2三角函数的最值问题注意判断类型，尤其是可化为 Asin(x)型的值求解时注意 x的范围对 x 范围的影响练通即学即用1(2017高考全国卷)设函数 f(x)cosx3，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线 x83 对称Cf(x)的一个零点为 x6Df(x)在2，单调递减解析：根据函数解析式可知函数 f(x)的最小正周期为 2，所以函数的一个周期为2，A 正确；当 x83 时，x33，所以 cosx3 1，所以 B 正确；f(x)cosx3 cosx43，当 x6时，x43 32，所以 f(x)0，所以 C正确；函数 f(x)cosx3
10、 在2，23 上单调递减，在23，上单调递增，故 D 不正确答案：D2(2018太原模拟)已知函数 f(x)sin x 3cos x(0)在(0，)上有且只有两个零点，则实数 的取值范围为()A.0，43B.43，73C.73，103D.103，133解析：易得 f(x)2sinx3，设 tx3，因为 0 x，所以3t3，因为函数 f(x)在(0，)上有且仅有两个零点，所以 32，解得430，所以应向左平移，故选 A.答案：A3函数 f(x)sin2x 3sin xcos x 在4，2 上的最小值是()A1 B.1 32C1 3D.32解析：f(x)sin2x 3sin xcos x1212c
11、os 2x 32 sin 2xsin2x6 12，因为4x2，所以32x656，所以当 2x656，即 x2时，函数 f(x)sin2x 3sin xcos x 取得最小值，且最小值为12121.答案：A4(2018高考全国卷)函数(x)tan x1tan2x的最小正周期为()A.4B.2CD2解析：由已知得(x)tan x1tan2xsin xcos x1sin xcos x2sin xcos xcos2xsin2xcos2xsin xcos x12sin 2x，所以(x)的最小正周期为 T22.故选 C.答案：C5(2018贵阳模拟)已知函数 f(x)Asin(x)(0，22)的部分图象如
12、图所示，则 的值为()A3B.3C6D.6解析：由题意，得T2362，所以 T，由 T2，得 2，由图可知 A1，所以 f(x)sin(2x)又 f 3 sin23 0，20，xR，且 f()12，f()12.若|的最小值为34，则函数 f(x)的单调递增区间为()A.22k，2k，kZB.23k，3k，kZC.2k，52 2k，kZD.3k，52 3k，kZ解析：由 f()12，f()12，|的最小值为34，知T434，即 T32，所以 23，所以 f(x)sin23x6 12，由22k23x622k(kZ)，得23kx3k(kZ)，故选 B.答案：B7(2018郑州质检)已知函数 f(x)
13、Asin(x)的部分图象如图所示，点 B，C 是该图象与 x 轴的交点，过点 C 的直线与该图象交于 D，E 两点，则(BD BE)(BECE)的值为()A1B12C12D2解析：(BD BE)(BECE)(BD BE)BC2BCBC2|BC|2，显然|BC|的长度为半个周期，周期 T2 2，|BC|1，所求值为 2.答案：D8(2018成都模拟)设函数 f(x)sin2x3，若 x1x20，且 f(x1)f(x2)0，则|x2x1|的取值范围为()A.6，B.3，C.23，D.43，解析：f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)，|x2x1|可视为直线 ym 与函数 yf(x)、函数 yf
14、(x)的图象的交点的横坐标的距离，作出函数 yf(x)与函数 yf(x)的图象如图所示，设 A，B 分别为直线 ym 与函数 yf(x)、函数 yf(x)的图象的两个相邻交点，因为 x1x23.答案：B9已知函数 f(x)sin(x)2cos(x)(0)的图象关于直线 x 对称，则 cos 2()A.35B35C.45D45解析：由题意可得 f(x)5sin(x)，其中 sin 2 55，cos 55.当 x 时，由 k2，得 22k2，则 cos 2cos(2k2)cos 2sin2cos235.故选 A.答案：A10(2018广西三市联考)已知 x 12是函数 f(x)3sin(2x)co
15、s(2x)(0)图象的一条对称轴，将函数 f(x)的图象向右平移34 个单位长度后得到函数 g(x)的图象，则函数 g(x)在4，6 上的最小值为()A2B1C 2D 3解析：x 12是 f(x)2sin2x6 图象的一条对称轴，3k2(kZ)，即 6k(kZ)0，6，则 f(x)2sin2x3，g(x)2sin2x76 2sin2x56.又4x6，32x56 76，12sin2x56 2.g(x)在4，6 上的最小值为1.答案：B11已知函数 f(x)12cos x cos(x3)是偶函数，其中 0，2，则下列关于函数g(x)cos(2x)的正确描述是()Ag(x)在区间 12，3 上的最小
16、值为1Bg(x)的图象可由函数 f(x)的图象向上平移 2 个单位长度，向右平移3个单位长度得到Cg(x)的图象的一个对称中心是 12，0Dg(x)的一个单调递减区间是0，2解析：函数 f(x)12cos xcos(x3)是偶函数，y1，y2cos x 都是偶函数，ycos(x3)是偶函数，3k，kZ，k3，kZ，又 00，02 的图象如图所示，已知图象经过点 A(0,1)，B3，1，则 f(x)_.解析：由已知得T23，T23，又 T2，3.sin 12，00，0,0)的部分图象如图所示，则f 4 的值为_解析：由图象可知 A2，34T1112 634，T，2，当 x6时，函数 f(x)取得
17、最大值，2622k(kZ)，62k(kZ)，00)的图象的对称轴与函数 g(x)cos(2x)|0)的图象的对称轴与函数 g(x)cos(2x)|2的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即222，所以 2，故函数 f(x)2sin2x4.令 2x4k2，kZ，则 xk2 8，kZ，故函数 f(x)的图象的对称轴为 xk2 8，kZ.令 2xm，mZ，则 xm2 2，mZ，故函数 g(x)的图象的对称轴为 xm2 2，mZ，故k2 8m2 2n2，nZ，即(mnk)4，又|0,0)的最小正周期为，且 x6是函数 f(x)的图象的一条对称轴(1)求，的值；(2)将函数 yf(x)图象上的
18、各点向左平移 12个单位长度，得到函数 yg(x)的图象，求函数 g(x)在0，512 上的最值及取最值时对应的 x 的值解析：(1)由题意得，f(x)1cos 2x2cos 12sin 2xsin 12cos 12cos 2xcos 12sin2xsin 12()cos 2xcos sin 2xsin 12cos(2x)又函数 f(x)的最小正周期为，所以22，所以 1，故 f(x)12cos(2x)，又 x6是函数 f(x)的图象的一条对称轴，故 26k(kZ)，因为 0，所以 3.(2)由(1)知 f(x)12cos2x3，将函数 yf(x)图象上的各点向左平移 12个单位长度，得到函数
19、 yg(x)的图象，故 g(x)12cos2x6.因为 x0，512，所以 2x66，23，因此当 2x60，即 x 12时，g(x)max12；当 2x623，即 x512时，g(x)min14.19(2018胶州模拟)已知函数 f(x)cos(2x)sin6x.(1)求 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 f(C)14，c 3，求ABC 的周长的取值范围解析：f(x)cos(2x)sin6x cos x12cos x 32 sin x 12cos2 x 34 sin 2x1cos 2x4 34 sin 2x12cos2
20、x3 14.(1)f(x)的最小正周期 T22.由 2k2x32k，kZ，得 k23 xk6，kZ，所以 f(x)的单调递增区间是k23，k6，kZ.(2)由 f(C)14，可得 cos2C3 1，由 0C2，得32C343，所以 2C3，解得 C3.又 c 3，根据正弦定理得 asin A bsin B3sin 32，所以 a2sin A，b2sin B.ABC 的周长 labc2sin A2sin B 3，因为 AB23，所以 l2sin A2sin23 A 32 3sinA6 3.因为ABC 为锐角三角形，所以 B23 A6，所以6A2，所以3A623，所以 32 sin(A6)1，所以 3 3l3 3，即ABC 的周长的取值范围是(3 3，3 3