1、一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分）1.已知集合，则 _.【答案】考点：（1）不等式的解法；（2）集合的运算.2.函数的最大值等于_.【答案】【解析】试题分析：函数，函数在上是增函数，故当时，函数取得最大值为，故答案为：考点：二次函数在闭区间上的最值.3.复数满足，则复数的模等于_.【答案】【解析】试题分析：复数满足，即，故答案为：.1111.Com1111考点：（1）复数的模；（2）二阶矩阵.4.函数的最小正周期为_.【答案】考点：函数的性质.【方法点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当
2、涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解.15.一组数据8，9，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是_.【答案】【解析】试题分析：数据的平均数是，这组数据的方差是，故答案为：考点：平均数，方差.【方法点睛】本题考查一组数据的平均数的应用，考查求一组数据的方差，本题是一个基础题，如出现一定是一个送分题目，对于此种题型容不得有半点闪失；根据这组数据的平均数是，写出平均数的表示式，即得到关于的方程，求出其中的值，再利用方差的公式，写出方差的表示式，得到结果6.已知函数是函数（且）的反函数，其图像过点，则_.【
3、答案】【解析】试题分析：由题意可得，再根据它的图象过点，可得，即，故，故答案为：1考点：反函数.7.方程（为参数）所表示曲线的准线方程是_.【答案】考点：参数方程化为普通方程.8.已知关于的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为_.【答案】【解析】试题分析：关于的展开式中，只有第项的二项式系数最大，即最大，解得，再根据，可得，令可得展开式的系数之和为 ，故答案为：考点：二项式系数的性质.9.若变量满足约束条件，且的最小值为-6，则_.【答案】【解析】试题分析：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小目标函数为
4、，由，解得，即，点也在直线上，故答案为：考点：简单的线性规划.110.若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则它的侧视图的面积为_.【答案】考点：由三视图求面积、体积.【方法点睛】本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视.由正三棱锥的正视图与俯视图形状可以看出，此物体的摆放方式是底面正三角形的高与正视图的投影线平行，如此其正视图中底边是正三棱锥的底面边长，由俯视图知底面是边长是的三角形，其高是棱锥的高，由此作出其侧视图，求侧视
5、图的面积111.已知为集合中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数，则输出的数的概率是_.【答案】考点：程序框图.12.在中，向量的终点在的内部（不含边界），则实数的取值范围是_.【答案】【解析】考点：平面向量的基本定理及其意义.113.已知数列的前项和，对任意，且恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：由，得；当时，若为偶数，则，（为正奇数）；若为奇数，则，（为正偶数）函数（为正奇数）为减函数，最大值为，函数（为正偶数）为增函数，最小值为若恒成立，则，即故答案为：考点：数列的递推式.【方法点睛】本题考查数列递推式，考查了数列通项公式的求法，体现了分类讨论
6、的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题由数列递推式求出首项，写出时的递推式，作差后对分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数（为正奇数）为减函数，最大值为，函数（为正偶数）为增函数，最小值为再由恒成立求得实数的取值范围14.设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”现有下面四个关于“似周期函数”的命题：如果“似周期函数” 的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；函数是“似周期函数”；函数是“似周期函数”；如果函数是“似周期函数”，那么“，”其中是真命题的序号是_.（写出所有满足条件的命题序号）【答案】考点：抽象函数及
7、其应用.二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）15.若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）A B C或 D【答案】C【解析】试题分析：函数在区间上存在一个零点，则，即 ，解得或 故选：C考点：函数零点的判定定理.16.已知空间直线不在平面内，则“直线上有两个点到平面的距离相等”是“”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件【答案】B考点：充分条件，必要条件的判定.17.双曲线的焦点坐标为（ ）A BC D【答案】B考点：双曲线的性质.18.函数在区间上可找到个不同数，使得，则的最
8、大值等于（ ）A8 B9 C10 D.11【答案】C【解析】试题分析：设，则条件等价为，的根的个数，作出函数和的图象，由图象可知与函数最多有个交点，即的最大值为，故选：C考点：正弦函数的图象.【方法点睛】本题主要考查函数交点个数的应用，熟练掌握三角函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键作出函数在区间上的图象，设由直线斜率的计算公式可知表示点和原点间直线的斜率，即把问题转化为过原点的直线和交点的个数，则由数形结合即可得到结论三、解答题（本大题共5小题，共64分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）已知直三棱柱中，是棱的中点.如图
9、所示.（1）求证：平面；111（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.（2）设是平面的法向量.又，取，可得，即平面的一个法向量是.由（1）知，是平面的一个法向量，记与的夹角为，则，.结合三棱柱可知，二面角是锐角，所求二面角的大小是.考点：（1）直线与平面垂直的判定；（2）向量法求二面角.20.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图，2012年春节，摄影爱好者在某公园处，发现正前方处有一立柱，测得立柱顶端的仰角和立柱底部的俯角均为，设的眼睛距地面的距离米.（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆绕其中点在与立柱所在的平面内旋
10、转摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由【答案】（1），；（2）摄影者可以将彩杆全部摄入画面.（2） 如图，为原点，以水平方向向右为轴正方向建立平面直角坐标系设，则，由（）知（8分）故，由知所以，恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面考点：平面向量的数量积坐标表示的应用.【一题多解】连接，设，.在和中，得.，又，则.故摄影者可以将彩杆全部摄入画面.21.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）在平面直角坐标系中，已知椭圆，设是椭圆上任一点，从原点向圆作两条切线，切点分别为（1）若直线互相垂直，且点在第一
11、象限内，求点的坐标；（2）若直线的斜率都存在，并记为，求证：1111【答案】（1）；（2）证明见解析.又因为在椭圆上，所以，即，所以，即.考点：直线与圆锥曲线的综合问题.【方法点睛】本题考查椭圆的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，以及韦达定理的运用，考查运算化简能力，属于中档题在（1）利用其图象判断出到的距离，以及在圆上，可得其坐标；由直线与圆相切可得圆心到直线的距离为半径，化简得是方程的两个不相等的实数根，结合韦达定理，以及点在椭圆上，利用设而不求及整体代换的思想可得结果.22.（本题满分16分，第1小题满4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知函数是单调递增函数，其反函数是.（
12、1）若，求并写出定义域；（2）对于（1）的和，设任意，求证：；（3）求证：若和有交点，那么交点一定在上.【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）证明见解析.，（3）设是和的交点，即，.当，显然在上；当，函数是单调递增函数，矛盾；当，函数是单调递增函数，矛盾.因此，若和的交点一定在上.考点：（1）反函数；（2）函数单调性的判断与证明；（3）函数单调性的性质.23.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示对于实数，无穷数列满足如下条件：，其中（1）若，求数列；（2）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合；（3）若是有理数，设（是整数，是正整数，互质），问对于大于的任意正整数，是否都有成立，并证明你的结论【答案】（1）；（2）；（3）成立，证明见解析.（2），所以，所以，当，即时，所以，解得（，舍去）.当，即时，所以，111解（，舍去）.当，即时，所以，解得（舍去）.综上.（2） 成立.由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，可设（是非负整数，是正整数，且既约）.考点：（1）新定义；（2）数列递推式.