1、考点32 数列的综合问题1已知数列、满足，则数列的前10项的和为（ ）A B C D 【答案】D【解析】试题分析：由题可知，则数列即为数列奇数项，则数列仍为等比数列，其首项为公比为原数列公比的平方，则数列的前10项的和为2删去正整数数列 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（ ）A B C D 【答案】B3将向量组成的系列称为向量列，并定义向量列的前项和若，则下列说法中一定正确的是（ ）A B 不存在，使得C 对，且，都有 D 以上说法都不对【答案】C【解析】由，则，所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以，又当时，所以当，且时，是成立的，故选C.4设等差数列的前项和
2、为，已知， ，则下列结论正确的是（ ）A B C D 【答案】D5某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：）（ ）A 2021年 B 2020年 C 2019年 D 2018年【答案】C【解析】设第年开始超过万元，则，化为，取，因此开始超过万元的年份是年，故选C.6已知数列的前项和为，若，则_【答案】7对任一实数序列，定义新序列，它的第项为，假设序列的所有项都是，且，则_【答案】100.【解析】设序列 的首项为，则序列，则它的第n项
3、为，因此序列A的第项，则是关于的二次多项式，其中的系数为，因为，所以必有，故.8将正整数分解成两个正整数的乘积有三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如.则_，数列（）的前项和为_【答案】09数列的递推公式为（），可以求得这个数列中的每一项都是奇数，则_；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个3是该数列的第_项.【答案】 【解析】由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3又因为即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列所以第8个3是该数列的第3281=384项故答案
4、为：18，38410在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为，令 (1)数列的通项公式为=_； (2) =_【答案】 ; , 故答案为11已知数列满足： ， ，记数列的前项之积为，则_.【答案】2【解析】因为，所以， ，所以数列是以4为周期的周期数列， ，则.12已知数列满足，其中，若对恒成立，则实数的取值范围为_【答案】13已知数列满足，若表示不超过的最大整数，则_.【答案】114已知数列中， ， ，记.若，则_.【答案】1343【解析】a1=a(0a2), ，a2=a1+3=3a1,3).当a1,2时,3a1,2,a3=a2+3=a，当n=2k
5、1,kN时,a1+a2=a+3a=3,S2k1=3(k1)+a=2015，a=1时舍去，a=2时，k=672，此时n=1343；15已知无穷数列的前n项和为，记， ， 中奇数的个数为()若= n，请写出数列的前5项；()求证：为奇数， (i = 2,3,4,.）为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件；()若，i=1, 2, 3,，求数列的通项公式.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) .【解析】（）解： ， ， ， ， （）证明：（充分性）因为为奇数， 为偶数，所以，对于任意， 都为奇数 所以 所以数列是单调递增数列 （不必要性）当数列中只有是奇数，其余项都是偶数时， 为偶数，
6、 均为奇数，16已知， 记（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的， 都能被整除【答案】(1)30；(2)证明见解析.17若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是“回归数列”（）前项和为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由通项公式为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；（）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值（）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由【答案】（）见解析;（）;（）见解析.，（）设等差数列的公差为，令，对， ，令，则对， ，18无穷数列满足： 为正整数，且对任意正整数， 为前项， ， ， 中
7、等于的项的个数. （）若，请写出数列的前7项；（）求证：对于任意正整数，必存在，使得；（）求证:“”是“存在，当时，恒有 成立”的充要条件。【答案】（）2，1，1，2，2，3，1；（）证明见解析；（）证明见解析. 后面的项顺次为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 19设为各项不相等的等差数列的前项和，已知.（1）求数列通项公式；（2）设为数列的前项和，求.【答案】（1）；（2）20数列a1,a2an是正整数1,2,n的任一排列，且同时满足以下两个条件：a1=1；当n2时，|ai-ai+1|2(i=1,2，,n-1).记这样的数列个数为f(n).（I）写出f(2),f(
8、3),f(4)的值；（II）证明f(2018)不能被4整除.【答案】（）f(2)=1,f(3)=2,f(4)=4；（）见解析.【解析】（）解：()根据题意,a1=1;当n2时, |ai-ai+1|2(i=1,2,n1)；则f(2)=1,f(3)=2,f(4)=4.（）证明：把满足条件的数列称为n项的首项最小数列.对于n个数的首项最小数列，由于a1=1，故a2=2或3.（1）若a2=2，则a2-1,a3-1,an-1构成n-1项的首项最小数列，其个数为f(n-1)；（2）若a2=3,a3=2，则必有a4=4，故a4-3,a5-3,an-3构成n-3项的首项最小数列，其个数为f(n-3)；（3）若
9、a2=3,则a3=4或a3=5.设ak+1是这数列中第一个出现的偶数，则前k项应该是1,3,2k-1，ak+1是2k或2k-2，即ak与ak+1是相邻整数.由条件，这数列在ak+1后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2在ak+1之后，故ak+1后的各项都小于它.这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.综上，有递推关系：f(n)=f(n-1)+f(n-3)+1，n5.由此递推关系和（I）可得，f(2),f(3),f(2018)各数被4除的余数依次为：1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，它们构成14为周期的数列，又2018=14144+2，
10、所以f(2018)被4除的余数与f(2)被4除的余数相同，都是1，故f(2018)不能被4整除.21已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项， ， 的最小值记为， （I）若为， ， ， ， ， ， ， ， ，是一个周期为的数列（即对任意， ），写出， ， ， 的值（II）设是正整数，证明： 的充分必要条件为是公比为的等比数列（III）证明：若， ，则的项只能是或者，且有无穷多项为【答案】（I）， ；（II）见解析；（III）见解析.必要性：，（ ， ， ），即非负整数列各项只能为或22设正项数列的前项和为，且满足， ， .(1)求数列的通项公式；(2)若正项等比数列满
11、足，且，数列的前项和为.求；若对任意， ，均有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）23已知数列满足，其中为的前项和.（1）求及数列的通项公式；（2）若数列满足，且的前项和为，求 的最大值和最小值.【答案】（1），；（2）时，时.24数列是正整数的任一排列，且同时满足以下两个条件：；当时， ().记这样的数列个数为.（I）写出的值；（II）证明不能被4整除.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】（）解： . （）证明：把满足条件的数列称为项的首项最小数列.对于个数的首项最小数列，由于，故或3.（1）若，则构成项的首项最小数列，其个数为；（2）若，则必有，故构成项的首项最小数列，其个数为；25设是等差数列的前项和，已知， （1）求数列的通项公式；（2）若，求证： 【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设公差为，则解得（2），是等比数列， ，