1、教材习题点拨巩固与提高1解：(1)B180(AC)105，sin 105sin(6045)，由正弦定理，得b5()(2)由正弦定理，得sin B0.899 9，ba，A40，B64.1或B115.9.当B64.1时，C75.9，c30.2；当B115.9时，C24.1，c12.7.评注：以上两题是正弦定理的两方面应用，特别要注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，要对解的情况进行判断2解：(1)由正弦定理，得sin B，ab，A60，B30，C90，c40.(2)由正弦定理，得sin B1，B90，C180(AB)30，c10.(3)由正弦定理，得sin B1，无解3解：(1)由余弦定理，得c
2、os A0.725，A43.5.cos B，B100.3，C36.2.(2)c2a2b22abcos 822818.467 6，c4.3.sin A0.629 4，A39.0.B180(AC)5832.评注：以上两题主要是利用余弦定理解三角形4解：如图所示，连结BD，在ABD中，BD2AB2AD22ABADcos 302.42124.82.603 1.在BCD中，cos C3.015 5，C107.6.5解：(在此只讲一种方法)如图所示，ab，ab.在OAB中，BA2OA2OB22OAOBcos 120251640cos 12061.BA，即|ab|.在OAC中，OC2OA2AC22OAACc
3、os 6021，OC，即|ab|.cosab，a.ab，a49.1.评注：通过本题体会向量的知识与余弦定理间的联系6解：如图，在OAC中，OA8，AC7，AOC60，由正弦定理得，sinOCA，OAAC，OCA81.8或OCA98.2.当OCA81.8时，a，b141.8，ab|a|b|cos 141.844.0.当OCA98.2时，a，b98.260158.2，ab|a|b|cos 158.252.0.评注：本题的关键是利用向量加法的平行四边形法则作出图形7证明：在ABC中，A2B，sin Asin 2B2sin Bcos B.由正弦定理，得sin A.代入上式，得2sin Bcos Bsi
4、n B0，a2bcos B.8证明：C2B，BC3B，又BC180A，.9证明：cb(12cos A)，sin Csin B(12cos A)sin180(AB)sin B2sin Bcos A，即sin(AB)sin B2cos Asin B，sin Acos Bcos Asin Bsin Bsin(AB)sin B.A、B为三角形内角，ABB，即A2B.10证明：如图所示，在ABC中，过A作BC的垂线，垂足为D，在RtABD中，BDccos B，在RtACD中，DCbcos C，BDDCccos Bbcos C，即abcos Cccos B.同理可证：bacos Cccos A，cacos
5、 Bbcos A.评注：本题也可用余弦定理，将cos A，cos B，cos C用a，b，c表示而得到证明11证明：sin A(cos Bcos C)sin Bsin C，()，bc.b(a2c2b2)c(a2b2c2)2bc(bc)a2bbc2b3a2cb2cc32b2c2bc2.b3c3a2ca2bb2cbc20.b2(bc)c2(cb)a2(bc)0.(bc)(b2c2a2)0.bc0，b2c2a2.故ABC为直线三角形12解：如图所示，当台风中心位于Q时影响该城市，设经过t h，影响该城市，则PQ20t，OQ6010t，OP300，OPQ45.arccos，cos ，sin ，cos(
6、45)cos cos 45sin sin 45.由余弦定理得OQ2OP2PQ22OPPQcos(45)，即(6010t)23002(20t)2230020t，整理得t236t2880，解得t12或t24(舍去)故当经过12 h后，台风影响该城市且持续时间为12 h.自测与评估1解：(1)；(2)30；(3)75或15；(4)；(5)104.5；(6)14.6.2解：如图所示，在ABC中，BDCD.在ABD中，设ADB，则AB2AD2BD22ADBDcos ，在ACD中，AC2AD2CD22ADCDcos(180)，得AB2AC22(AD2BD2)即32422()，a.cosBAC，BAC60.
7、SbcsinBAC34sin 603.3解：如图所示，连结AC、BD，在ABD中，BD2AD2AB22ADABcosBAD5242254cos 6021，BD.依题意，A，B，C，D四点共圆，AC为其直径由正弦定理知，AC2R2.在RtACD中，CD，在RtABC中，BC2，2.评注：本题利用了四点共圆的条件和正弦定理的变式4解：如图所示，设BC2a，则BDCDa.设BAD，DAC.在ABC中，C90，B90.在ABD中，由正弦定理得，AD，在ACD中，AD，.即sin Bcos Bsin Ccos C，sin 2Bsin 2C0.即cos(BC)sin(BC)0，cos(BC)0或sin(B
8、C)0.又0BC180，由cos(BC)0，得BC90，即ABC为直角三角形；由sin(BC)0，得BC，ABC为等腰三角形综上，ABC为直角三角形或等腰三角形评注：本题将正弦定理与诱导公式、和差化积公式联系在一起，在对ABC做出判断时，要注意不是等腰直角三角形5解：如图所示，AD是BAC的平分线，CDBD.在ABC中，BC2AB2AC22ABACcos 6032222327，BD.而BDCDBC，BD.由正弦定理，得sin B.ABBCAC，B为锐角cos B.在ABD中，AD2AB2BD22ABBDcos B32()223，AD.评注：本题利用了三角形中角平分线的性质6解：A1A228(海里)，A1A2M80，M180(8040)60，由正弦定理，得A1M21.2(海里)故灯塔和轮船原来的距离约为21.2海里评注：本题的关键是根据题意找出角的大小7证明：由已知及正弦定理得.sin Acos Bcos Asin B，sin Bcos Ccos Bsin C.sin Acos Bcos Asin B0，sin Bcos Ccos Bsin C0，即sin(AB)0，sin(BC)0.又AB，BC，AB0，BC0.AB，BC，即ABC.故ABC为等边三角形
