1、课时提升作业 九二维形式的柯西不等式一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016泰安高二检测)若3x2+2y21,则3x+2y的取值范围是()A.0,B.-,0C.-,D.-5,5【解析】选C.|3x+2y|,从而-3x+2y.2.设a,bR,a2+b2=3,则3a-b的最大值为()A.30B.-30C.D.-【解析】选C.3a-b=3a+(-1)b=,当且仅当3b=-a,即a=,b=-时等号成立.3.(2016长春高二检测)已知a,b,c,d,m,n都是正实数,P=+,Q=,则P与Q的大小关系为()A.PQB.P0,y0,且+=1,则2x+y的最小值为_.【解析】2x+y=(2x+y)=
2、()2+()2=3+2,当且仅当=时,等号成立,又+=1,则此时答案:3+2【一题多解】2x+y=(2x+y)=+32+3=2+3.当且仅当=,即2x2=y2时取等号.又+=1,则此时答案:2+3【拓展延伸】利用柯西不等式的关键利用柯西不等式时关键问题是找出相应的两组数,当这两组数不太容易找时,需分析、增补(特别对数字1的增补:a=1a)、变形等.三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2016天津高二检测)已知m0,n0,m+n=p,求证:+,指出等号成立的条件.【解析】根据柯西不等式,得(m+n)=4,于是+=,当m=n=时等号成立.7.求函数f(x)=-的最大值.【解题指南】由二维形式
3、的三角不等式稍作变化,即得-.【解析】由于f(x)=-=-=-=.8.已知函数f(x)=|x-4|.(1)若f(x)2,求x的取值范围.(2)在(1)的条件下,求g(x)=2+的最大值.【解析】(1)由已知得,|x-4|2,即-2x-42,即2x6,即x的取值范围为2,6.(2)由2x6可得g(x)=2+,由柯西不等式,得g(x)=2.当且仅当=,即x=时,g(x)的最大值为2.一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知a,b,x1,x2为互不相等的正数,若y1=,y2=,则y1y2与x1x2的关系为()A.y1y2x1x2D.不能确定【解析】选C.因为a,b,x1,x2为互不相等的正数,所以
4、y1y2=x1x2.【补偿训练】已知a,bR,且P=,Q=,则P,Q的大小关系是()A.PQB.PQC.PQD.P0,y0,且x+y=2,求+的最小值.【解题指南】利用柯西不等式求最小值,需要出现(a2+b2)(c2+d2)的结构,我们把+看作一部分,利用x+y=2构造出一部分(2-x+2-y).【解析】因为x+y=2,根据柯西不等式,有(2-x)+(2-y)=()2+()2()2+()2=(x+y)2=4,所以+=2.当且仅当=,即x=y=1时,等号成立.所以当x=y=1时,+有最小值2.6.求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=.【证明】设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0.因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B20.由柯西不等式,得(A2+B2)(x-x0)2+(y-y0)2A(x-x0)+B(y-y0)2=(Ax+By)-(Ax0+By0)2=(Ax0+By0+C)2,所以|PQ|.当且仅当=时,取等号,|PQ|取得最小值.因此,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=.
