1、十五平行直线与异面直线(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全得2分,有选错的得0分)1.(多选题)下列命题中,正确的结论有()A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行【解析】选BD.由空间平行直线的传递性及等角定理知,只有BD正确.2.直线ab,直线b与c相交,则直线a,c一定不存在的位置关系是()A.相交B.平行C.
2、异面D.无法判断【解析】选B.如图,a与c相交或异面.3.空间四边形ABCD中,给出下列说法:直线AB与CD异面;对角线AC与BD相交;四条边不能都相等;四条边的中点组成一个平行四边形.其中正确说法的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选B.由定义知正确;错误,否则A,B,C,D四点共面;不正确,可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度,就成为四边相等的空间四边形;正确,由平行四边形的判定定理可证.4.下列结论正确的是()A.若两个角相等,则这两个角的两边分别平行B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C.空间四边形的两条对角线可以相交D.空间四边形的两条对角线不相交【解析】选D.空
3、间四边形的四个顶点不在同一平面上,所以它的对角线不相交,否则四个顶点共面,故选D.5.两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形()A.全等B.不相似C.仅有一个角相等D.相似【解析】选D.由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等.6.如图所示,在三棱锥P -ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有()A.1对B.2对C.3对D.4对【解析】选C.根据异面直线的定义可知共3对,分别为AP与BC,CP与AB,BP与AC.二、填空题(每小题4分,共8分)7.已知角和角的两边分别平行且一组边方向相同,另一组边的方向相反,若=45,则=_.【解析】由等角定理可知=135.答
4、案:1358.如图,在空间四边形ABCD中,AB与CD,AD与BC,BD与AC的位置关系是_.【解析】假设AB与CD共面,则A,B,C,D在同一个平面内,这与四边形ABCD是空间四边形矛盾,所以,AB与CD是异面直线,同理可得AD与BC,BD与AC也是异面直线.答案:异面三、解答题(每小题14分,共28分)9.已知空间四边形ABCD中,ABAC,BD=BC,AE是ABC的边BC上的高,DF是BCD的边BC上的中线,判定AE与DF的位置关系.【解析】由已知得E,F不重合.设BCD所在平面为,则DF,A,E,EDF,所以AE与DF异面.10.如图,已知线段AA1,BB1,CC1交于O点,且=,求证
5、:ABCA1B1C1.【证明】因为AA1与BB1交于点O,且=,所以A1B1AB,同理A1C1AC,B1C1BC,又因为A1B1和AB,A1C1和AC方向相反,所以BAC=B1A1C1,同理ABC=A1B1C1,所以ABCA1B1C1.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(多选题)给出以下四个命题:A.不共面的四点中,其中任意三点不共线B.若点X,Y,Z,W共面,点X,Y,Z,V共面,则点X,Y,Z,V,W共面C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面D.依次首尾相接的四条线段必共面其中不正确的命题是()
6、【解析】选BCD.A假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以A正确;B如图,两个相交平面有三个公共点X,Y,Z,但X,Y,Z,V,W不共面;C显然不正确;D不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形.2.下列四个结论中假命题的个数是()垂直于同一直线的两条直线互相平行;平行于同一直线的两直线平行;若直线a,b,c满足ab,bc,则ac;若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.A.1B.2C.3D.4【解析】选B.均为假命题.可举反例,如a,b,c三线两两垂直.如图甲时,c,d
7、与异面直线l1,l2交于四个点,此时c,d异面;当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时,会出现点A与B重合的情形,如图乙所示,此时c,d共面相交.3.已知直线a,b和平面,a,则“b”是“b与a异面”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由题意,若直线b不在平面内,则b与相交或b,不一定有b与a异面,反之,若b与a异面,一定有直线b不在平面内,即“b”是“b与a异面”的必要不充分条件.4.已知异面直线a,b,有a,b且=c,则直线c与a,b的关系是()A.c与a,b都相交B.c与a,b都不相交C.c至多与a,b中的一条相交D.c至少与a,
8、b中的一条相交【解析】选D.若c与a,b都不相交,因为c与a在内,所以ac.又c与b都在内,所以bc,所以ab,与已知条件矛盾.如图,只有以下三种情况.二、填空题(每小题4分,共16分)5.空间四边形ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则MN(AC+BD)(填“”“”“”“MN,所以MN(AC+BD).答案:6.如图,在这个正方体中:BM与ED平行;CN与BM是异面直线;CN与BE是异面直线;DN与BM是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是_.【解析】根据正方体的特征可得:BM与ED是异面直线,错误;CN与BM是异面直线,正确;由已知可证四边形BCNE是平行四边形,所以CN与BE是
9、平行直线,错误;DN与BM是异面直线,正确.答案:7.如图所示,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是_.【解题指南】只需判断GH与MN是否平行或相交,若两直线既不平行也不相交,则两直线异面.【解析】中直线GH与MN平行,中GMHN,且GMHN,所以GH与MN必相交.中GH,MN是异面直线.答案:8.a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:若ab,bc,则ac;若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;若a平面,b平面,则a,b一定是异面直线;若a,b与c成等角,则ab.其中正确的命题是_(只填序号).【解析】由平行直线的传递性知正确;当
10、a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故不正确;a,b,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故不正确;当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故不正确.答案:三、解答题(共38分)9.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E,F,G,H分别为PA,PB,PC,PD的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.【证明】在PAB中,因为E,F分别是PA,PB的中点,所以EFAB,EF=AB.同理GHDC,GH=DC,因为四边形ABCD是平行四边形,所以ABCD,AB=CD.所以EFGH,EF=GH.所以四边形EFGH是平行四边形.
11、10.(12分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为AA1,CC1的中点.求证:BFED1.【证明】如图,取BB1的中点G,连接GC1,GE.因为F为CC1的中点且ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以BGC1F,且BG=C1F,即四边形BGC1F为平行四边形.所以BFGC1.又EGA1B1,A1B1C1D1,且EG=A1B1,A1B1=C1D1,所以EGC1D1,且EG=C1D1,即四边形EGC1D1为平行四边形.所以ED1GC1.所以BFED1.11.(14分)已知:如图所示,=a,b,ab=A,c,ca.求证:直线b,c为异面直线.【证明】假设b,c共面于.由Aa,ac知,Ac,而ab=A,=a,所以A,A.又c,所以,都经过直线c及其外的一点A,所以与重合,于是a,又b.又,都经过两相交直线a,b,从而,重合.所以,为同一平面,这与=a矛盾,所以b,c为异面直线.