1、课堂导学三点剖析 一、图象问题 余弦函数的图象可以由正弦函数的图象平移得到,也可以仿照正弦函数图象的作法,使用“五点法”;正切函数的图象是由单位圆中的正切线作出的,即几何法.正切函数的图象不连续,只在区间(k-,k+)上有图象,正切函数图象关于中心对称,对称中心是(,0),kZ.【例1】 用“五点法”画下列函数的简图.y=-cosx,x0,2.画法一:按五个关键点列表:x02Cosx10-101-cosx-1010-1描点画图(如图所示):画法二:先用五点法画y=cosx的图象,再作它关于x轴的对称图形.图象如上图.温馨提示 类似于正弦函数,也可以由y=cosx变换为y=Acos(x+),xR
2、,并讨论其周期性,单调性,奇偶性等.各个击破类题演练 1作出函数y=tan()在一个周期内的图象是( )解析:首先函数的周期为2,可排除B,D,其次当x=时,函数无意义,又可排除C.答案:A变式提升 1在区间(,)范围内,函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4解法一:在同一坐标系中,首先作出y=sinx与y=tanx在(-,)内的图象,需明确x(0,)时,有sinxxtanx(利用单位圆中的正弦线,正切线就可证明),然后利用对称性作出x(-,)的两函数的图象如图,由图象可知它们有三个交点.所以应选C.解法二:x(-,),即sinx=tanx=,
3、sinx(1-)=0,sinx=0或cosx=1.在x(-,)内x=-,0,满足sinx=0,x=0满足cosx=1,所以交点个数为3.所以应选C.答案:C 二、定义域与值域 余弦函数y=cosx与y=sinx的定义域,值域一样,从图象上看是夹在两直线y=1之间,故是有界的,利用有界性可以解决与余弦函数有关的问题;正切函数的定义域是x|xk+,kZ,值域是R,图象只有增区间,无减区间,整个定义域不具备单调性.【例2】求下列函数的定义域:(1)y=;(2)y=解：(1)将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内,如图所示.由图显然可得函数定义域集合为x|2kx0.若它们的周期之和为，且f()=g
4、(),f()=g()+1,求这两个函数.思路分析:先求出f(x)、g(x)的周期，再用待定系数法求a,b.解：由f(x)、g(x)的周期之和为,得+=,k=2.f()=asin(2+)=-asin=a,g()=btan(2-)=-btan=b,由f()=g(),得a=b,即a=2b.又f()=asin(2+)=acos=a,g()=btan(2-)=bcot=b.由f()=g()+1,得a=b+1,即a=-2b+2.由联立方程组，解得a=1,b=.f(x)=sin(2x+),g(x)=tan(2x-).温馨提示 求三角函数的周期，通常把它转化成y=Asin(x+)+b的形式.周期的大小仅与x的
5、系数有关，用公式T=就可求出周期.类题演练 3试把tan1、tan2、tan3、tan4按照从小到大的顺序排列，并说明理由.解法一：函数y=tanx在区间,内是增函数且tan1=tan(+1),又234+1,tan2tan3tan4tan1.解法二：如图所示，1，2，3，4的正切函数线分别是AT1，AT2，AT3，AT4.所以tan2tan3tan4tan1.温馨提示 (1)将自变量化到同一单调区间，再利用单调性比较大小是比较三角函数值大小的重要方法.（2）本题易产生以下两种误解:误解一：函数y=tanx是增函数，又1234,tan1tan2tan3tan4.误解二：2和3终边在第二象限，ta
6、n2,tan3都是负数.又1和4的终边分别在第一和第三象限，tan1，tan4都是正数.根据y=tanx是增函数且23，14，tan2tan3tan1tan4. 上述两个误解的根源在于混淆了函数单调性的概念.两个误解都把y=tanx视作定义域 上的单调增函数，从而导致了错误的结果.变式提升 3给出下列命题:函数y=sin|x|不是周期函数;函数y=tanx在定义域内是增函数;函数y=|cos2x+|的周期是;y=sin(+x)是偶函数.其中正确命题的序号是_.解析:对于,0,而tan0=tan,y=tanx在定义域内不是增函数.对于,y=|cos2(x+)+|=|-cos2x|cos2x+|.不是y=|cos2x+|的周期.对于,从其图象可说明其不是周期函数.对于,f(x)=sin(+x)=sin(2+x)=cosx,显然是偶函数.正确.答案:
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