1、北京市朝阳区2015届高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1已知集合A=x|x2+x20，B=x|x0，则集合AB等于（）A x|x2Bx|0x1Cx|x1Dx|2x1解答：解：集合A=x|x2+x20=x|2x1，B=x|x0，集合AB=x|x2故选：A点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用2已知命题p：x0，x+4；命题q：x0R，2x0=1则下列判断正确的是（）A p是假命题Bq是真命题Cp（q）是真命题D（p）q是真命题解答：解：对于命题p：x0，x+2=4，命题p为真命题；对于命题q：
2、对xR，2x0，命题q为假命题，q为真命题，故只有选项C为真命题故选：C点评：本题综合考查了复合命题的真假，简单命题的真假判断等知识，属于中档题，解题的关键是：准确理解两个命题的真值情况3执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A 120B105C15D5考点：循环结构专题：算法和程序框图分析：据题意，模拟程序框图的运行过程，得出程序框图输出的k值是什么解答：解：第一次循环得到：k=1，i=3；第二次循环得到：k=3，i=5；第三次循环得到：k=15，i=7；满足判断框中的条件，退出循环k=15故选C点评：本题考查了求程序框图的运行结果的问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出结论，
3、是基础题4曲线y=与直线x=1，x=e2及x轴所围成的图形的面积是（）A e2Be21CeD2分析：确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论解答：解：由题意，由曲线y=与直线x=1，x=e2及x轴所围成的图形的面积是S=2故选：D点评：本题考查面积的计算，解题的关键是确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积5设，是两个非零的平面向量，下列说法正确的是（）若=0，则有|+|=|；|=|；若存在实数，使得=，则|+|=|+|；若|+|=|，则存在实数，使得=ABCD分析：当=0时，判断|+|=|成立；利用数量积判断|=|不一定成立；当=时，判断|+|=|+|不
4、一定成立；当|+|=|时，得出、共线，即可判断正误解答：解：对于，当=0时，|+|=|，正确；对于，=|cos，|=|不一定成立，错误；对于，当=时，则|+|=|+|=|+1|，|+|=|+|=|（|+1），|+|=|+|不一定成立，错误；对于，当|+|=|时，+2+=2|+，=|，共线，即存在实数，使得=，正确综上，正确的是故选：B点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应熟练地掌握平面向量的有关概念，是基础题6某房地产公司计划出租70套相同的公寓房当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租设租出的每
5、套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为（）A 3000B3300C3500D4000考点：函数最值的应用专题：计算题；应用题；函数的性质及应用分析：由题意，设利润为y元，租金定为3000+50x元，（0x70，xN），则y=（3000+50x）（70x）100（70x），利用基本不等式求最值时的x的值即可解答：解：由题意，设利润为y元，租金定为3000+50x元，（0x70，xN）则y=（3000+50x）（70x）100（70x）=（2900+50x）（70x）=50（58+x）（70x）50（）2，当且仅当5
6、8+x=70x，即x=6时，等号成立，故每月租金定为3000+300=3300（元），故选B点评：本题考查了学生由实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式的应用，属于中档题7如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（x+）+b（其中0，），则估计中午12时的温度近似为（）A 30B27C25D24考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题：三角函数的图像与性质分析：由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而其求得x=12时的值解答：解：由函数的图象可得b=20，A=3020=10，根据=106，可得=再根据五
7、点法作图可得，6+=，求得=，y=10sin（x+）+20令x=12，可得y=10sin（+）+20=10sin+20 10+2027，故选：B点评：本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，属于基础题8设函数f（x），g（x）满足下列条件：（1）对任意实数x1，x2都有f（x1）f（x2）+g（x1）g（x2）=g（x1x2）；（2）f（1）=1，f（0）=0，f（1）=1下列四个命题：g（0）=1；g（2）=1；f2（x）+g2（x）=1；当n2，nN*时，f（x）n+g（x）n的最大值为1其中所有正确命题的序号是（）ABCD考点：命题的真假判断与应用专题：函数的性质及应用
8、分析：既然对任意实数x1，x2都有f（x1）f（x2）+g（x1）g（x2）=g（x1x2），那么分别令x1，x2取1，0，1求出g（0），g（1），g（1），g（2），然后令x1=x2=x可得，再根据不等式即可得解答：解；对于结论是正确的对任意实数x1，x2都有f（x1）f（x2）+g（x1）g（x2）=g（x1x2）且f（1）=1，f（0）=0，f（1）=1，令x1=x2=1，得f（1）2+g（1）2=g（0），1+g（1）2=g（0），g（0）1=g（1）2令x1=1，x2=0，得f（1）f（0）+g（1）g（0）=g（1），g（1）g（0）=g（1），g（1）g（0）1=0解方程组 得
9、对于结论是不正确的，令x1=0，x2=1，得f（0）f（1）+g（0）g（1）=g（1），g（1）=0令x1=1，x2=1，得f（1）f（1）+g（1）g（1）=g（2），1=g（2），g（2）1对于结论是正确的，令x1=x2=1，得f2（x）+g2（x）=g（0）=1，对于结论是正确的，由可知f2（x）1，1f（x）1，1g（x）1|fn（x）|f2（x），|gn（x）|g2（x）对n2，nN*时恒成立，f（x）n+g（x）nf2（x）+g2（x）=1综上，是正确的故选：D点评：本题考查赋值法求抽象函数的性质属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9已
10、知平面向量，满足|=1，=（1，1），且，则向量的坐标是或考点：平面向量共线（平行）的坐标表示专题：平面向量及应用分析：设=（x，y）由于平面向量，满足|=1，=（1，1），且，可得=1，xy=0解出即可解答：解：设=（x，y）平面向量，满足|=1，=（1，1），且，=1，xy=0解得=或故答案为：或点评：本题考查了向量模的计算公式、向量共线定理，属于基础题10已知tan（+）=，（，），则tan的值是；cos的值是考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义专题：三角函数的求值分析：利用两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，即可求得tan与cos的值解答：解：tan（+）=，t
11、an=tan（+）=；又（，），cos=故答案为：；点评：本题考查两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，属于中档题11若f（x）=，是奇函数，则a+b的值是1考点：函数奇偶性的性质分析：不妨设x0，则x0，根据所给的函数解析式，利用f（x）=f（x），由此可得a、b的值，即可得到a+b解答：解：函数f（x）=，是奇函数，任意x0，则x0，由f（x）=f（x），则2x+3=axb，则a=2，b=3则a+b=1，故答案为：1点评：本题主要考查分段函数求函数的奇偶性，运用函数的奇偶性的定义是解题的关键，属于基础题12已知等差数列an中，Sn为其前n项和若a1+a3+a5+a7=4，S8=16
12、，则公差d=2；数列an的前3项和最大考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得a2+a4+a6+a8=4+4d，可得S8=4+（4+4d）=16，解之可得d=2，进而可得a1=5，可得an=72n，解不等式可得等差数列an的前3项为正数，从第4项起为负数，故数列an的前3项和最大解答：解：a1+a3+a5+a7=4，a2+a4+a6+a8=4+4d，S8=4+（4+4d）=16，解得d=2，a1+a3+a5+a7=4a1+12d=4，解得a1=5，等差数列an的通项公式an=52（n1）=72n，令an=72n0可得n，等差数列an的前3项为正数，从第4项起为负数，数列
13、an的前3项和最大故答案为：2；3点评：本题考查等差数列的前n项和公式，属基础题13已知x，y满足条件若目标函数z=ax+y（其中a0）仅在点（2，0）处取得最大值，则a的取值范围是（，+）考点：简单线性规划的应用专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=ax+y得y=ax+z，a0，此时目标函数的斜率k=a0，要使目标函数z=ax+y仅在点A（2，0）处取得最大值，则此时akAB=，即a，故答案为：（，+）点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常
14、用方法14如图，在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AA1和BB1已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为；塔BB1的高为45m考点：解三角形的实际应用专题：应用题；解三角形分析：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为，则AA1=60tan，BB1=60tan2，利用从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，可得A1ACCBB1，即可求出结论解答：解：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为，则AA1=60tan，BB1=60tan2，从两
15、塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，A1ACCBB1，AA1BB1=900，3600tantan2=900，tan=，tan2=，BB1=60tan2=45故答案为：，45点评：本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（13分）已知函数f（x）=sinxacosx（xR）的图象经过点（，1）（）求函数f（x）的解析式；（）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性专题：三角函数的图像与性质分析：（）代点可求a值，可
16、得解析式；（）由（）知f（x）=，易得周期为T=2，解可得单调递减区间解答：解：（）函数f（x）的图象经过点，即a=1，解得a=1=（）由（）知f（x）=函数f（x）的最小正周期为T=2由，kZ可得，kZ函数f（x）的单调递减区间为：，kZ点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数公式和三角函数的单调性和周期性，属基础题16（13分）如图，在ABC中，ACB为钝角，AB=2，BC=D为AC延长线上一点，且CD=+1（）求BCD的大小；（）求BD的长及ABC的面积考点：余弦定理的应用专题：解三角形分析：（）利用正弦定理求出BCD的正弦函数值，然后求出角的大小；（）在BCD中，由余弦定理可求
17、BD的长，然后求出AC的长，即可求解ABC的面积解答：（本小题满分13分）解：（）在ABC中，因为，由正弦定理可得，即，所以因为ACB为钝角，所以所以 （6分）（）在BCD中，由余弦定理可知BD2=CB2+DC22CBDCcosBCD，即，整理得BD=2在ABC中，由余弦定理可知BC2=AB2+AC22ABACcosA，即，整理得解得因为ACB为钝角，所以ACAB=2所以所以ABC的面积（13分）点评：本题考查余弦定理的应用，解三角形，考查基本知识的应用17（13分）在递减的等比数列an中，设Sn为其前n项和，已知a2=，S3=（）求an，Sn；（）设bn=log2Sn，试比较与bn+1的大小
18、关系，并说明理由考点：数列与函数的综合专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（）利用a2=，S3=，建立方程组，即可求an，Sn；（）bn+1=log2Sn+1，由于函数y=log2x在定义域上为增函数，所以只需比较与Sn+1的大小关系解答：解：（）由已知可得，解得q=2或由上面方程组可知a10，且已知数列an为递减数列，所以代入求得，则.（6分）（）依题意，=；bn+1=log2Sn+1，由于函数y=log2x在定义域上为增函数，所以只需比较与Sn+1的大小关系，即比较SnSn+2与S2n+1的大小关系，=，=，由于，即，所以即SnSn+2S2n+1，即bn+1（13分）点评：本题考查数列的
19、通项，考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18（14分）已知函数f（x）=，aR（）求函数f（x）的单调区间；（）若f（x）在（1，2）上是单调函数，求a的取值范围考点：函数的单调性及单调区间专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：本题考察函数的单调性（）先写出函数的定义域，然后求导数，分a=0，a0，a0，利用导数的符号讨论函数的单调性即可，（）结合（）中的函数单调性，对a进行分类讨论，又x（1，2），分成a0，02a1，12a2，2a2四种情况进行讨论解答：解：（）f（x）的定义域为x|xa.当a=0时，f（x）=x（x0），f（x）=1，则x（，0），（0，+）时，f
20、（x）为增函数；当a0时，由f（x）0得，x2a或x0，由于此时0a2a，所以x2a时，f（x）为增函数，x0时，f（x）为增函数；由f（x）0得，0x2a，考虑定义域，当0xa，f（x）为减函数，ax2a时，f（x）为减函数；当a0时，由f（x）0得，x0或x2a，由于此时2aa0，所以当x2a时，f（x）为增函数，x0时，f（x）为增函数由f（x）0得，2ax0，考虑定义域，当2axa，f（x）为减函数，ax0时，f（x）为减函数综上，当a=0时，函数f（x）的单调增区间为（，0），（0，+）当a0时，函数f（x）的单调增区间为x（，0），（2a，+），单调减区间为（0，a），（a，2a）
21、当a0时，函数f（x）的单调增区间为x（，2a），（0，+），单调减区间为（2a，a），（a，0）（）当a0时，由（） 可得，f（x）在（1，2）单调增，且x（1，2）时，xa当02a1时，即时，由（） 可得，f（x）在（2a，+）单调增，即在（1，2）单调增，且x（1，2）时，xa当12a2时，即时，由（） 可得，f（x）在（1，2）上不具有单调性，不合题意当2a2，即a1时，由（）可得，f（x）在（0，a），（a，2a）为减函数，同时需注意a（1，2），满足这样的条件时f（x）在（1，2）单调减，所以此时a=1或a2综上所述，或a=1或a2点评：本题易忽略函数的定义域，在讨论函数的性质的题
22、目中一定要先求出函数的定义域，在定义域内讨论；难点是分类讨论较复杂，要做到不重不漏，按照数轴从左向右讨论，还要注意特殊情况19（14分）已知函数y=f（x），若在区间（2，2）内有且仅有一个x0，使得f（x0）=1成立，则称函数f（x）具有性质M（）若f（x）=sinx+2，判断f（x）是否具有性质M，说明理由；（）若函数f（x）=x2+2mx+2m+1具有性质M，试求实数m的取值范围考点：函数零点的判定定理专题：计算题；新定义；函数的性质及应用分析：（）f（x）=sinx+2具有性质M若存在x0（2，2），使得f（x0）=1，解方程求出方程的根，即可证得；（）依题意，若函数f（x）=x2+2
23、mx+2m+1具有性质M，即方程x2+2mx+2m=0在（2，2）上有且只有一个实根设h（x）=x2+2mx+2m，即h（x）=x2+2mx+2m在（2，2）上有且只有一个零点讨论m的取值范围，结合零点存在定理，即可得到m的范围解答：解：（）f（x）=sinx+2具有性质M理由：依题意，若存在x0（2，2），使得f（x0）=1，则x0（2，2）时有sinx0+2=1，即sinx0=1，x0=2k，kZ由于x0（2，2），所以x0=又因为区间（2，2）内有且仅有一个x0=使得f（x0）=1成立，所以f（x） 具有性质M；（）依题意，若函数f（x）=x2+2mx+2m+1具有性质M，即方程x2+2
24、mx+2m=0在（2，2）上有且只有一个实根设h（x）=x2+2mx+2m，即h（x）=x2+2mx+2m在（2，2）上有且只有一个零点解法一：（1）当m2时，即m2时，可得h（x）在（2，2）上为增函数，只需解得交集得m2（2）当2m2时，即2m2时，若使函数h（x）在（2，2）上有且只有一个零点，需考虑以下3种情况：（）m=0时，h（x）=x2在（2，2）上有且只有一个零点，符合题意（）当2m0即0m2时，需解得交集得（）当0m2时，即2m0时，需解得交集得（3）当m2时，即m2时，可得h（x）在（2，2）上为减函数只需解得交集得m2综上所述，若函数f（x）具有性质M，实数m的取值范围是m
25、或m2或m=0；解法二：依题意，（1）由h（2）h（2）0得，（42m）（6m+4）0，解得或m2同时需要考虑以下三种情况：（2）由解得m=0（3）由解得，不等式组无解（4）由解得，解得综上所述，若函数f（x）具有性质M，实数m的取值范围是或m2或m=0点评：本题考查函数的零点的判断和求法，考查零点存在定理的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题20（13分）对于项数为m的有穷数列an，记bk=maxa1，a2，a3，ak（k=1，2，3，m），即bk为a1，a2，a3，ak中的最大值，则称bn是an的“控制数列”，bn各项中不同数值的个数称为an的“控制阶数”（）若各项均为正
26、整数的数列an的控制数列bn为1，3，3，5，写出所有的an；（）若m=100，an=tn2n，其中，bn是an的控制数列，试用t表示（b1a1）+（b2a2）+（b3a3）+（b100a100）的值；（）在1，2，3，4，5的所有全排列中，将每种排列视为一个数列，对于其中控制阶数为2的所有数列，求它们的首项之和考点：数列的应用专题：新定义；等差数列与等比数列分析：（）若各项均为正整数的数列an的控制数列bn为1，3，3，5，可得an；（）确定当n2时，总有an+1an，n3时，总有bn=an从而只需比较a1和a2的大小，即可得出结论（）确定首项为1、2、3、4的数列的个数，即可得出结论解答：
27、解：（）1，3，1，5； 1，3，2，5；1，3，3，5（3分）（）因为，所以所以当n2时，总有an+1an又a1=t1，a3=9t3所以a3a1=8t20故n3时，总有bn=an从而只需比较a1和a2的大小（1）当a1a2，即t14t2，即时，an是递增数列，此时bn=an对一切n=1，2，3，100均成立所以（b1a1）+（b2a2）+（b3a3）+（b100a100）=0（2）当a1a2时，即t14t2，即时，b1=a1，b2=a1，bn=an（n3）所以（b1a1）+（b2a2）+（b3a3）+（b100a100）=0+（t1）（4t2）+0+0=13t综上，原式=（9分）（）154首项为1的数列有6个；首项为2的数列有6+2=8个；首项为3的数列有6+4+2=12个；首项为4的数列有6+6+6+6=24个；所以，控制阶数为2的所有数列首项之和6+82+123+244=154（13分）点评：本题考查数列的应用，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3）观察，分析寻找规律是难点，是难题