1、1(2015南京一模)椭圆1的离心率是_解析：由椭圆方程可得a5，b3，c4，e.答案：2过点P(2，4)的抛物线的标准方程为_解析：注意两种情况答案：x2y或y28x3(2015南京盐城二模)若双曲线x2y2a2(a0)的右焦点与抛物线y24x的焦点重合，则a_.解析：双曲线x2y2a2的右焦点的坐标为，抛物线y24x的焦点为(1,0)，从而a1，故a.答案：4(2015南通一模)在平面直角坐标系xOy中，以直线y2x为渐近线，且经过抛物线y24x焦点的双曲线的方程是_解析：因为抛物线焦点为(1,0)，所以双曲线的焦点也在x轴上，故可设所求双曲线标准方程为1(a0，b0)又双曲线的渐近线为y
2、2x，故2.即所求双曲线的标准方程为x21.答案：x215(2015镇江期末)若双曲线1(a0，b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是_解析：不妨设焦点为(c,0)，则由题意得双曲线的渐近线方程为bxay0，故(2c)b，即c2b，从而ab，故双曲线的渐近线方程为yxx.答案：yx6已知椭圆1与双曲线1(a0，b0)有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则PF1PF2等于_解析：点既在椭圆上又在双曲线上，且有相同焦点，所以有PF1PF22，|PF1PF2|2，两式平方相减可得PF1PF2ma.答案：ma7(2015扬州期末)过抛物线y22px(p0)的焦
3、点作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，且AOB的面积为8(O为坐标原点)，则抛物线的焦点坐标为_解析：由不妨取A，B两点的坐标分别为，故AB2p，且O到直线AB的距离为，故面积为(2p)8，故p4，因此焦点坐标为(2,0)答案：(2,0)8(2015徐州、淮安、宿迁、连云港四市一模)已知椭圆1(ab0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为_解析：由题意得直线AB2：1，直线B1F：1，将它们联立解得x，由于直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上，故，即2c2aca20，故2e2e10，解得e
4、或1(舍去)答案：9以下五个命题中：设A、B为两个定点，k为非零常数，k，则动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作该圆的动弦AB，O为坐标原点若()，则动点P的轨迹为椭圆；当a为任意实数时，直线(a1)xy2a10恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是x2y；过双曲线x2y21的左焦点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线左支交于A、B两点，F2是双曲线的右焦点，则ABF2的面积为2；已知双曲线1，其离心率e(1,2)，则m的取值范围是12m0.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)解析：对于，只有当|k|AB时，才为真命题，故为假命题；对于，由()知P为AB的中点，故CP
5、AB.设AC的中点为D(D为定点)，则PDAC，P点轨迹为圆，为假命题；对于，直线方程即(x2)a(xy1)0，所以过定点(2,3)，设焦点在y轴上的抛物线x22py(p0)，46p，p，故抛物线的标准方程是x2y，故为真命题；对于，双曲线的左焦点为F1(，0)，因为若直线l与x轴垂直，在x2y21中令x，得y1，有AB2，而F1F22，所以SABF2ABF1F22，故为真命题；对于，双曲线方程为1，则m0，a24，b2m，c24m，e，因为e(1,2)，所以12,44m16，故12m0，故为真命题答案：10(2015南京二模)已知椭圆x21(0b0时，则椭圆离心率的取值范围是_. 解析：设F
6、、B、C的坐标分别为(c,0)，(0，b)，(1,0)，则FC、BC的中垂线分别为x，y.联立方程组解出mn0，即bbcb2c0，即(1b)(bc)0，所以bc.从而b2c2，即有a22c2，所以e20，所以0e.答案：0e0，b0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点(1)求证：PFl；(2)若PF3，且双曲线的离心率e，求该双曲线方程解：(1)证明：右准线为x，由对称性不妨设渐近线l为yx，则P，又F(c,0)，所以kPF，又因为kl，所以kPFkl1，所以PFl.(2)因为PF的长即F(c,0)到l：bxay0的距离，所以3，即b3，又e，所以，所以a4，故双曲线方程为
7、1.12已知双曲线C1：1(a0，b0)，F1，F2分别是它的左、右焦点，抛物线C2：y22px(p0)的焦点与C1的右焦点重合，P是C1与C2的一个交点(1)若双曲线的实轴长为4，且离心率为，求抛物线的方程；(2)求证：1.解： (1)由题意可知：2a4，于是a2，c2，于是，双曲线的焦点分别为F1(2，0)，F2(2，0)，而抛物线的焦点坐标为， 所以2 ，即p4.所以抛物线的方程为y28x.(2)证明：因为e 且PF1PF22a，所以 ，所以 ，所以1.13(2015南通市二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的左顶点为A，右焦点为F(c,0)P(x0，y0)为椭圆上一点
8、，且PAPF.(1)若a3，b，求x0的值；(2)若x00，求椭圆的离心率；(3)求证：以F为圆心，FP为半径的圆与椭圆的右准线x相切解：(1)因为a3，b，所以c2a2b24，即c2, 由PAPF得，1，即yxx06，又1，所以4x9x090，解得x0或x03(舍去) .(2)当x00时，yb2，由PAPF得，1，即b2ac，故a2c2ac，所以e2e10，解得e(负值已舍)(3)证明：依题意，椭圆右焦点到直线x的距离为c，且1，由PAPF得，1，即yx(ca)x0ca，由得，x(ac)x0(b2ac)0，即(x0a)0，解得x0或x0a(舍去)所以|PF|.所以以F为圆心，FP为半径的圆与
9、右准线x相切14(2015高考湖北卷)一种画椭圆的工具如图(1)所示O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连结，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图(2)所示的平面直角坐标系(1)(2)(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l与两定直线l1：x2y0和l2：x2y0分别交于P，Q两点若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由解：(1)因为OMMNNO314，当M
10、，N在x轴上时，等号成立；同理，OMMNNO312，当D，O重合，即MNx轴时，等号成立，所以椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l为x4或x4，都有SOPQ448.当直线l的斜率存在时，设直线l：ykxm，由消去y，可得(14k2)x28kmx4m2160.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即m216k24.(*1)又由可得P；同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d和|PQ|xPxQ|，可得SOPQ|PQ|d|m|xPxQ|m|.(*2)将(*1)代入(*2)，得SOPQ8.当k2时，SOPQ888；当0k2时，SOPQ88.因为0k2，则014k21，2，所以SOPQ88，当且仅当k0时取等号所以当k0时，SOPQ的最小值为8.综合可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ的面积取得最小值8.
