1、3.1.2两角和与差的正弦基础知识基本能力1能利用两角和与差的余弦公式和诱导公式推导出两角和与差的正弦公式(难点)2熟记两角和与差的正弦公式，尤其要弄清公式的结构特征及与两角和与差的余弦公式的异同(重点、易混点)1能灵活地应用两角和与差的正弦公式进行三角函数式的化简、求值和证明(重点、难点)2掌握公式的正用和逆用(难点)3会用角的变换技巧来处理角的问题，如()，等(难点)1两角和与差的正弦公式两角和的正弦公式：sin()sin cos cos sin ，(S)两角差的正弦公式：sin()sin cos cos sin .(S)【自主测试11】sin 7cos 37cos 7sin 37的值是(
2、)A B C D答案：A【自主测试12】sin 105_.答案：2旋转变换公式已知点P(x，y)，与原点的距离保持不变，逆时针旋转角到点P(x，y)，则有【自主测试21】已知点M(1,6)，与坐标原点保持距离不变，按顺时针旋转90得到点M的坐标为_答案：(6,1)【自主测试22】已知向量(1,3)，绕原点按逆时针旋转60得到向量的坐标为_答案：3辅助角公式形如asin xbcos x(a，b不同时为0)的式子可以化为一个三角函数式即asin xbcos xsin(x)，其中cos ，sin .【自主测试31】函数ysin xcos x的最小正周期是()A B C2 D4解析：ysin xcos
3、 xsin，最小正周期为T2.答案：C【自主测试32】已知cos xsin x，则sin()A BC D答案：D1对两角和与差的正弦公式的正确理解剖析：(1)公式中的，均为任意角(2)与两角和与差的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin()sin sin .(3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例如sin(2)sin 2cos cos 2sin 0cos 1sin sin ，当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便(4)使用任何一个公式都要注意它的逆向、多向变换，还要掌握整体思想等，这是灵活使用公式的前提，特别是三角函数公式如化简sin()cos cos()si
4、n ，不要将sin()和cos()展开，而是采用整体思想，进行如下变形：sin()cos cos()sin sin()sin ，这也体现了数学中的整体原则(5)记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数的积，连接符号与左边的连接符号相同归纳总结两角和与差的正、余弦公式虽然形式、结构不同但它们的本质是相同的：cos() cos() sin(),sin()，所以在理解公式的基础上，只要记住中心公式cos()的由来及其表达方式就可掌握其他三个公式了这要作为一种数学思想、一
5、个数学方法来仔细加以体会2解读辅助角公式剖析：(1)asin xbcos x(a，b不同时为0)中的角x必须为同一个角，否则不成立(2)通过化单角(x)为复角(x)，达到减少函数名称，合二为一的目的最终化为一个(复)角的一种三角函数，有利于进一步研究相关性质(3)化简的形式不唯一由于选用的辅助角不一样，所以化简的结果也会不相同，这实际上是由化简过程中采用的公式决定的如f(x)sin xcos x可以写成f(x)2sin还可以写成f(x)2cos.3有关三角函数的最值问题的求法剖析：一般地，三角函数的求最值问题可归结为以下几种情况：(1)形如yAsin(x)B的函数，利用sin 的值域求最值；(
6、2)形如y的函数，可通过数形结合法，将y看成是两点连线的斜率，确定斜率的最值即可；(3)可化为形如ya(sin xb)2c或ya(cos xb)2c的函数，利用换元法转化为二次函数在特定区间上的最值问题；(4)求形如f(x)asin xbcos x(ab0)的函数的最值，通常化归为求函数yAsin(x)的最值题型一 利用两角和与差的正弦公式求值【例题1】已知cos ，在下列情况下，分别求sin的值(1)；(2).分析：在已知cos 和的取值范围的前提下，要求sin，只需把sin 求出再应用公式即可得出解：(1)cos ，sin ，sinsincos cossin .(2)cos ，sin ，s
7、insincos cossin .反思在cos 已知的前提下，sin 要根据的取值范围才能唯一确定如果不能确定，则一定要分情况讨论题型二 三角函数式的化简【例题2】化简：2cos(AB)分析：解答本题若用两角和与差的正余弦公式展开，则计算复杂对题中各角之间的关系进行分析后，我们选定(AB)和B作为基本量，则有A2B(AB)B，抓住了这些关系后，再恰当地运用公式，问题便不难解决了解：原式.反思在做三角函数题时，角度变换是三角恒等变换的首选方法，但具体怎样来变换，我们主要是分析它们之间的关系，以便通过角度变换，减少不同角的个数这其中，寻找一个或几个基本量是快速定位这类题目解法的关键题型三 公式在三
8、角形中的应用【例题3】在ABC中，若sin A，cos B，求cos C分析：借助CAB转化，再利用公式求解解：cos B，B为锐角，sin B.sin A，0A，当A为锐角时，cos A，此时cos Ccos(AB)cos(AB)sin Asin Bcos Acos B，当A为钝角时，sin A，A120.又cos B，B60，AB180与三角形内角和等于180矛盾cos C.反思解决与三角形有关的问题时要注意：(1)三角形的内角和等于180；(2)创设条件使之能运用两角和与两角差的三角函数公式；(3)常用结论：ABC180，sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，sincos，
9、cossin，tan(AB)tan C互动探究若把本例中的“cos B”改为“sin B”，结果又如何？解：sin A，0A，当A为锐角时，cos A.sin Bsin A，B为锐角，cos B，cos Ccos(AB)sin Asin Bcos Acos B，当A为钝角时，cos A，cos B，cos Ccos(AB)sin Asin Bcos Acos B.题型四 辅助角公式的应用【例题4】已知函数f(x)sin xcos x，xR.(1)求f(x)的最小正周期与值域；(2)求f(x)的单调递增区间分析：解答本题时，可把asin xbcos x化简成sin(x)的形式求解解：f(x)si
10、n xcos x222sin，xR.(1)T2，f(x)的值域为2,2(2)由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)所以f(x)的单调递增区间为(kZ)反思研究形如f(x)asin xbcos x的函数的性质，都要先把其化为整体角的正弦函数形式或余弦函数形式，方法是提取，逆用公式S，C，特别注意角的范围对三角函数值的影响题型五 易错辨析【例题5】已知向量(3，1)，将此向量绕其始点，顺时针旋转30后所得向量的坐标为_错解：由旋转变换公式得即所以.错因分析：没有考虑到是顺时针旋转30，在代入公式时，角的度数为30.正解：由旋转变换公式得即所以.1(2012山东邹城质检)sin 75cos 30
11、cos 75sin 30的值为()A1 B C D答案：C2已知sin()，sin()，则tan tan ()A B C7 D7解析：由sin()，sin()，得sin cos cos sin ，sin cos cos sin .由，得2sin cos .由，得2cos sin .故由，得7.答案：C3(2012山东鱼台期末)在ABC中，如果sin A2sin Ccos B，那么这个三角形是()A锐角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形答案：C4_.解析：2sin 301.答案：15若3sin xcos x2sin(x)，(，)，则_.解析：3sin xcos x22(sin xcos cos xsin )2sin(x)，cos ，sin .又(，)，.答案：6是否存在x使得函数ysin(x10)cos(x40)存在最小值？若存在，求出x；若不存在，请说明理由解：x40(x10)30，ysin(x10)cos(x10)30sin(x10)cos(x10)cos 30sin(x10)sin 30sin(x10)cos 30cos(x10)sin 30sin(x10)cos 30cos(x10)cos(x1030)cos(x20)1cos(x20)1，函数的值域为1,1，当ymin1时，x20k360180，kZ，此时，xk360200，kZ.
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