1、1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义基础知识基本能力1理解任意角的余弦、正弦和正切的定义，了解任意角的余切、正割和余割的定义(重点)2掌握三角函数值在各象限的符号通过任意角的三角函数的定义，认识到锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例(重点、易混点)1会根据三角函数的定义来求正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域2能够判断三角函数在各象限内的符号(重点)1三角函数的定义和定义域在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r0).三角函数定义定义域名称sin R正弦cos R余弦tan 正切sec 正割csc |k，kZ余割cot |k，kZ余切归纳
2、总结由定义可知，这六个比值的大小与在终边上所取的点P的位置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数定义中的是任意角，但对于一个确定的角，只要各个三角函数有意义，其值就是唯一的【自主测试11】若角的终边过点P(a,8)，且cos ，则a的值是()A6 B6 C10 D10解析：由任意角的三角函数的定义可知，解得a6.显然a6时不成立，所以a6.答案：B【自主测试12】若角终边上有一点P(2,0)，则下列函数值不存在的是()Asin Bcos Ctan Dcot 答案：D2三角函数在各象限的符号(1)用图形表示，如图所示(2)用表格表示.的终边所在位置x轴正半轴第一象限
3、y轴正半轴第二象限x轴负半轴第三象限y轴负半轴第四象限sin 00cos 00tan 0不存在0不存在归纳总结三角函数值在各象限的符号可简记为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦，正、余割同余、正弦”，即，第一象限正弦、余弦、正切、余切都为正；第二象限正弦为正；第三象限正切、余切为正；第四象限余弦为正；正割、余割的符号与余弦、正弦的符号相同三角函数在各象限的符号是由什么确定的？答：由三角函数定义可知，三角函数在各象限的符号由角终边上任意一点的坐标来确定【自主测试21】若sin cos 0，则角的终边在()A第一或第二象限 B第一或第三象限C第一或第四象限 D第二或第四象限解析：由sin cos
4、0，可知若sin 0，则cos 0，则角的终边位于第一象限；若sin 0，则cos 0，则角的终边位于第三象限综上，可知角的终边位于第一或第三象限答案：B【自主测试22】已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角在第_象限解析：因为点P(tan ，cos )在第三象限，所以tan 0，cos 0，故角在第二象限答案：二锐角三角函数推广为任意角的三角函数的过程剖析：角的概念推广后，我们利用直角坐标系把锐角三角函数推广到任意角的三角函数如图所示，射线OP在第一象限，P(x，y)是该射线上的任意一点，MPOx于点M，记MOP，则OMx，MPy，rOP0，由锐角三角函数的定义知，sin ，cos
5、，tan .下面我们来研究任意角的三角函数如右上图所示，已知任意角，以角的顶点O为坐标原点，以角的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy，并且使xOy90.在角的终边上取点A，使OA1，设A的坐标为(l，m)，再任取一点P(x，y)，设OPr(r0)，由相似三角形对应边成比例，得|l|，|m|，.因为点A，P在同一象限内，所以它们的横纵坐标符号相同因此得l，m，不论点P在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于的大小，与点P在终边上的位置无关我们定义cos ，sin ，tan .由图可以看出，当为锐角时，上述所定义的三角函数与在直角三角形中定义的三角函数是一致的，这样就把锐角三角
6、函数推广为任意角的三角函数名师点拨(1)正弦、余弦、正切分别可看成一个角的集合到一个比值的集合的映射它们都是以角为自变量，比值为函数值的函数，称为三角函数(2)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)在终边上的位置无关，而由角的终边的位置决定对于确定的角，其终边的位置也唯一确定，因此，三角函数是角的大小的函数题型一 三角函数的定义【例题1】已知角终边上一点的坐标为P(，y)(y0)，sin y，求cos 和tan .分析：求解本题的关键是根据三角函数的定义及sin y求出y的值解：x，r，sin ，y，解得y或y或y0(舍去)当y时，cos ，tan ；当y时，同理得cos
7、，tan .反思当所给角的终边上的点含有字母时，一定要注意分类讨论，并结合函数值的正负进行取舍互动探究若将本例中的条件“P(，y)(y0)”改为“P(，y)”结论又如何？解：当y0时，cos 1，tan 0；当y时，cos ，tan ；当y时，cos ，tan .题型二 判断三角函数值的符号【例题2】(1)判断sin 3cos 4tan 5cot 6的符号；(2)已知是第二象限的角，试确定的符号分析：确定一个角的某一三角函数值的符号，关键要看角在哪一个象限；确定一个式子的符号，则需要观察构成该式的结构特点及每部分的符号解：(1)3，4，562，sin 30，cos 40，tan 50，cot
8、60.sin 3cos 4tan 5cot 60，即sin 3cos 4tan 5cot 6的符号为负(2)是第二象限的角，sin 0，cos 0.故0，即的符号为负反思这里的sin 3就是“sin 3(rad)”，将弧度省略了在第(2)小题中解题的关键是分别判断出sin ，cos 的符号题型三 三角函数的定义域【例题3】求下列函数的定义域(1)y；(2)ylg sin x.分析：根据三角函数的定义并结合求函数定义域的要领列不等式或不等式组进行求解即可解：(1)由题意得sin xtan x0，即sin x与tan x同号或sin xtan x0，故x是第一、四象限的角或终边在x轴上的角所以函数
9、的定义域为.(2)由题意得由sin x0得2kx2k(kZ)由9x20得3x3.由得0x3.故函数的定义域为x|0x3反思求解含有三角函数式的函数的定义域问题，和我们以前学过的求定义域的问题的解决方法是一致的，即首先列出不等式或不等式组，然后解不等式或不等式组，最后写出函数的定义域凡涉及三角函数的定义域问题，在求解时，必须考虑到三角函数本身一定要有意义在求一个固定的集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以通过取特殊值或画数轴的方法来解决题型四 易错辨析【例题4】已知角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，求sin ，cos ，tan ，cot 的值错解：x4a，y3a，r5a.sin ，co
10、s ，tan ，cot .错因分析：没有对a分正负两种情况讨论，误认为a0.正解：若a0，则r5a，且角的终边在第二象限，sin ，cos ，tan ，cot .若a0，则r5a，且角的终边在第四象限，sin ，cos ，tan ，cot .反思(1)给出角的终边上一点的坐标，求解某个三角函数值时常用定义求解(2)本题由于所给字母a的符号不确定，故要对a的正负进行分类讨论1已知P(x,4)是角终边上一点，且tan ，则x的值为()A10 B C10 D解析：由任意角的三角函数的定义可知，tan ，故x10.答案：C2已知角的终边经过点P(3，4)，则cos 的值为()A B C D答案：D3若
11、是第三象限的角，则()A0 B1 C2 D2解析：是第三象限的角，sin 0，cos 0，1(1)0.答案：A4下列函数中，与函数ytan 有相同定义域的个数为()y；ysec ；ycsc ；y.A1 B2 C3 D4解析：要使ytan 有意义，只需角的终边上异于原点的点P(x，y)的横坐标x0，显然函数的定义域与之相同答案：B5若角的终边过点P(3cos ，4cos )(为第二象限的角)，则sin _.解析：x3cos ，y4cos ，r5|cos |5cos (为第二象限的角)sin .答案：6x2sin(1 350)y2tan 405(xy)2cot 7652xycos(1 080)_.解析：原式x2sin(904360)y2tan(45360)(xy)2cot(452360)2xycos(03360)x2sin 90y2tan 45(xy)2cot 452xycos 0x2y2(xy)22xy0.答案：07求下列函数的定义域：(1)ytan xcot x；(2)ytan x.解：(1)要使函数有意义，必须使tan x，cot x同时有意义，函数ytan xcot x的定义域为.(2)当sin x0且tan x有意义时，函数才有意义，函数ytan x的定义域为(kZ)
