1、2021-2022学年北京市海淀区中关村中学高三（上）开学测试数学一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）. 1已知集合Ay|y1，Bx|3x1，则（）AABRBABx|x0CABx|x1DAB2记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a524，S648，则an的公差为（）A1B2C4D83若复数z满足iz24i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4已知函数f（x）ax3+bx+2，f（lg5）3，则f（lg0.2）（）A1B2C3D45点M是边长为2的正六边形ABCDEF内或边界上一动点，则的最大值与最小值之差为（）A2B4C6D86已知双曲线1（
2、a0，b0）的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）Ay21Bx21CD7“0a+b4”是“ab4”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件8若x2+y24，则的最小值为（）A1B2C3D49如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG不存在公共点，PB1的最小值为（）A2BC3D10在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/m2）L160dB，L275dB，那么（）A10B
3、10CD10二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.请将正确答案填写在答题纸的相应位置.11若的二项展开式中各项的二项式系数的和是8，则展开式中常数项为 ，各项的系数的和为 .（用数字作答）12为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽4名学生进行视力检测检测的数据如下：A班：4.1，4.6，4.4，4.9；B班：4.9，4.6，4.2，4.5（）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看， 班的4名学生视力较好；（） 班的4名学生视力方差较大13已知函数，若将其图象向右平移（0）个单位长度后所得的图象关于原点对称，则的最小值为 14笛卡尔、牛顿都研究过方程（x1）
4、（x2）（x3）xy，关于这个方程的曲线有下列说法：该曲线关于y轴对称；该曲线关于原点对称；该曲线不经过第三象限；该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数其中不正确的是 15已知函数给出下列四个结论：存在实数a，使函数f（x）为奇函数；对任意实数a，函数f（x）既无最大值也无最小值；对任意实数a和k，函数yf（x）+k总存在零点；对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数f（x）在区间（1，m）上单调递减其中所有正确结论的序号是 三、解答题：本题共有6道小题，共85分，请将详细解答过程填写在答题纸的相应位置.16在ABC中，sinAsinB，C，再从条件，条件，条件这三个条件中选择一个作为
5、已知，使ABC存在，求c的值及ABC的面积条件：cb；条件：ac；条件：csinA317如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为l（1）证明：l平面PDC；（2）已知PDAD1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值18某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分比如将写有“废电池”的卡片放入写
6、有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照0，20，（20，40，（40，60，（60，80，（80，100分组，绘成频率分布直方图如图：（）分别求出所抽取的20人中得分落在组0，20和（20，40内的人数；（）从所抽取的20人中得分落在组0，40的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望；（）如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由19已知函数f（x）xln（x+1）ax2（）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）当a0时
7、，求证：函数f（x）存在极小值；（）请直接写出函数f（x）的零点个数20已知抛物线G：y22px，其中p0点M（2，0）在G的焦点F的右侧，且M到G的准线的距离是M与F距离的3倍经过点M的直线与抛物线G交于不同的A，B两点，直线OA与直线x2交于点P，经过点B且与直线OA垂直的直线l交x轴于点Q（）求抛物线的方程和F的坐标；（）判断直线PQ与直线AB的位置关系，并说明理由21已知数列an的前n项和满足Sn2an1，数列bn满足bn2+log2an（）求数列an和数列bn的通项公式；（）令，若对于一切的正整数n恒成立，求实数x的取值范围；（）数列an中是否存在，使am，an，ak成等差数列？若存
8、在，求出m，n，k的值；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）. 1已知集合Ay|y1，Bx|3x1，则（）AABRBABx|x0CABx|x1DAB解：Ay|y1x|x1，Bx|3x1x|x0，ABx|x1x|x0x|x1，ABx|x1x|x0x|x0故选：B2记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a524，S648，则an的公差为（）A1B2C4D8解：Sn为等差数列an的前n项和，a4+a524，S648，解得a12，d4，an的公差为4故选：C3若复数z满足iz24i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：iz
9、24i，z42i，故复数z在复平面内对应的点位于第三象限，故选：C4已知函数f（x）ax3+bx+2，f（lg5）3，则f（lg0.2）（）A1B2C3D4解：根据题意，函数f（x）ax3+bx+2，则f（x）ax3bx+2，则f（x）+f（x）4，而lg0.2lg5，则有f（lg5）+f（lg0.2）f（lg5）+f（lg5）4，则f（lg0.2）1，故选：A5点M是边长为2的正六边形ABCDEF内或边界上一动点，则的最大值与最小值之差为（）A2B4C6D8解：如图，以AB为x轴，AE为y轴建立平面直角坐标系， 则A（0，0），B（2，0），设M（x，y）， 在AEF中，AFEF2，AFE1
10、20，AE2，高FG1，CG3，x1，3，y0，2，（2，0），（x，y），2xx1，3，2x2，6，最大值与最小值之差为8 故选：D6已知双曲线1（a0，b0）的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）Ay21Bx21CD解：可得c2，即，解得a1，c2，b，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：x21故选：B7“0a+b4”是“ab4”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：当a+b0，ab0时，显然ab4成立，反之不成立，当a0，b0时，则4a+b2，故2，ab4，充分性成立，令a4，b，
11、由ab4推不出a+b4，故“0a+b4”是“ab4”的充分不必要条件，故选：A8若x2+y24，则的最小值为（）A1B2C3D4解：x2+y24表示点（x，y）的轨迹是以（0，0）为圆心，以2为半径的圆，表示（x，y）到点A（2，1）的距离，|x1|表示点（x，y）到直线x1的距离，如图示：，的最小值为线段|AB|的长3，故选：C9如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG不存在公共点，PB1的最小值为（）A2BC3D解：由于PBB1是以B1BP为直角的三角形，求PB1的最小值，只需求PBB
12、1的面积的最小值，可求PB的最小值可将截面EFG补形为截面EFGHQR，直线D1P与截面EFG不存在公共点，可得D1P平面EFGHQR，而EFAC，QRAD1，EF，QR为相交直线，AC，AD1为相交直线，所以平面EFGHQR平面ACD1，P在直线AC上，且当P与O重合时，PB最短，此时PBB1的面积取得最小值，且|BP|BO|，|BB1|2，此时|B1P|，故选：D10在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/m2）L160dB，L275dB，那么（）A10B10CD10解：，L10（lgIlg1012）10（lgI+12），lgI12，当L160时，lgI16，I
13、1106，当L275时，lgI24.5，I2104.5，10，故选：D二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.请将正确答案填写在答题纸的相应位置.11若的二项展开式中各项的二项式系数的和是8，则展开式中常数项为6，各项的系数的和为1.（用数字作答）解：因为的二项展开式中各项的二项式系数的和是8，所以2n8，解得n3，所以展开式中通项公式为Tr+1（2）r，令0，解得r1，所以常数项为T2（2）6，令x1，计算各项的系数的和为 （12）31故答案为：6，112为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽4名学生进行视力检测检测的数据如下：A班：4.1，4.6，4.4
14、，4.9；B班：4.9，4.6，4.2，4.5（）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看， 班的4名学生视力较好；（）A班的4名学生视力方差较大解：（）计算A班数据的平均数为（4.1+4.6+4.4+4.9）4.5，B班数据的平均数为（4.9+4.6+4.2+4.5）4.55，从计算结果看，B班的4名学生视力较好；（） 计算A班数据的方差为s2（4.14.5）2+（4.64.5）2+（4.44.5）2+（4.94.5）20.085，计算B班数据的方差为s2（4.94.55）2+（4.64.55）2+（4.24.55）2+（4.54.55）20.0625，所以A班的4名学生视力方差较大（或者利用
15、A班数据较为分散，B班数据较为集中判断也可）故答案为：（）B，（）A13已知函数，若将其图象向右平移（0）个单位长度后所得的图象关于原点对称，则的最小值为解：函数sin2x+cos2xsin（2x+），若将其图象向右平移（0）个单位长度后，得f（x）sin2（x）+sin（2x2+），由f（x）的图象关于原点对称，所以2+k，kZ，解得k+，kZ；又0，所以的最小值为故答案为：14笛卡尔、牛顿都研究过方程（x1）（x2）（x3）xy，关于这个方程的曲线有下列说法：该曲线关于y轴对称；该曲线关于原点对称；该曲线不经过第三象限；该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数其中不正确的是解：对于：以x
16、代替x，得到（x+1）（x+2）（x+3）xy，方程改变，不关于y轴对称，故错误；对于：以x代替x，y代替y，得到（x+1）（x+2）（x+3）xy，方程改变，不关于原点对称，故错误；对于：当x0，y0时，（x1）（x2）（x3）0，xy0，显然方程不成立，所以该曲线不经过第三象限，故正确；对于：令x1，得y24，即（1，24）符合题意，同理可得（1，0），（2，0），（3，0）符合题意，所以该曲线上有且只有三个点的横坐标，纵坐标都是整数不符合题意，故错误故答案为：15已知函数给出下列四个结论：存在实数a，使函数f（x）为奇函数；对任意实数a，函数f（x）既无最大值也无最小值；对任意实数a和k
17、，函数yf（x）+k总存在零点；对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数f（x）在区间（1，m）上单调递减其中所有正确结论的序号是解：由函数f（x）的解析式可得图象如图：a0时函数f（x）为奇函数，故正确；由图象可知对于任意的实数a，函数f（x）无最值，故正确；当k3，a8时函数yf（x）+k没有零点，故错误；由图象可知，当am时，函数f（x）在（1，m）上单调递减，故正确故答案为：三、解答题：本题共有6道小题，共85分，请将详细解答过程填写在答题纸的相应位置.16在ABC中，sinAsinB，C，再从条件，条件，条件这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在，求c的值及ABC的面积条件：
18、cb；条件：ac；条件：csinA3解：选择条件，sinAsinB，由正弦定理可得：ab，又C，cb，由余弦定理c2a2+b22abcosC，可得：3b23b2+b22bb，整理可得：b23b2，可得b0，若选择条件，这样的ABC不存在选择条件，在ABC中，sinAsinB，ab，又C，由余弦定理可得cb0，又ac，b2，解得b1，或1（舍去），a，c1，SABCabsinCsin选择条件，在ABC中，csinA3，C，a6，在ABC中，sinAsinB，b2，由余弦定理可得c2，SABCabsinC317如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为l
19、（1）证明：l平面PDC；（2）已知PDAD1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值解：（1）证明：过P在平面PAD内作直线lAD，由ADBC，可得lBC，即l为平面PAD和平面PBC的交线，PD平面ABCD，BC平面ABCD，PDBC，又BCCD，CDPDD，BC平面PCD，lBC，l平面PCD；（2）如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），B（1，1，0），设Q（m，0，1），（m，0，1），（1，1，1），（0，1，0），设平面QCD的法向量
20、为（a，b，c），则，取a1，可得（1，0，m），cos，PB与平面QCD所成角的正弦值为，当且仅当m1取等号，PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为18某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照0，20，（20，40，（4
21、0，60，（60，80，（80，100分组，绘成频率分布直方图如图：（）分别求出所抽取的20人中得分落在组0，20和（20，40内的人数；（）从所抽取的20人中得分落在组0，40的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望；（）如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由解：（）由题意知，所抽取的20人中得分落在组0，20的人数有0.005020202（人），得分落在组（20，40的人数有0.007520203（人）所抽取的20人中得分落在组0，20的人数有2人，得分落在组（20，40的人数有3人（
22、）X的所有可能取值为0，1，2，X的分布列为：X012PX的期望 （）答案不唯一答案示例1：可以认为该选手不会得到100分理由如下：该选手获得100分的概率是，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分理由如下：该选手获得100分的概率是，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分19已知函数f（x）xln（x+1）ax2（）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）当a0时，求证：函数f（x）存在极小值；（）请直接写出函数f（x）的零点个数解：（）f（x）xln（x+1）ax2的定义域为x|x1，因为f（0）0ln
23、（0+1）a020，所以切点的坐标为（0，0），因为，所以切线的斜率k0，所以切线的方程为y0证明（）方法一：令，所以，因为x1且a0，所以，2a0，从而得到g（x）0在（1，+）上恒成立，所以f（x）0在（1，+）上单调递增且f（0）0，所以x，f（x），f（x）在区间（1，+）的变化情况如下表：x（1，0）0（0，+）f（x）0+f（x）极小值所以x0时，f（x）取得极小值，问题得证方法二：因为，当a0时，当x0时，所以f（x）0，当x0时，所以f（x）0，所以x，f（x），f（x）在区间（1，+）的变化情况如下表：x（1，0）0（0，+）f（x）0+f（x）极小值所以x0时，函数f（x）
24、取得极小值，问题得证（）令f（x）xln（x+1）ax20，即xln（x+1）ax0，当x0时，满足，当x0时，ln（x+1）ax0，即a， 令h（x），h（x），令（x）ln（x+1），（x），当1x0时，（x）0，函数单调递增，当x0时，（x）0，函数单调递减，（x）（0）0，h（x）0恒成立，h（x）在（1，0），（0，+）上单调递减，当x+时，f（x）0，h（x）0，当a0或a1时，函数f（x）有一个零点，当a0且a1时，函数f（x）有两个零点20已知抛物线G：y22px，其中p0点M（2，0）在G的焦点F的右侧，且M到G的准线的距离是M与F距离的3倍经过点M的直线与抛物线G交于不同的
25、A，B两点，直线OA与直线x2交于点P，经过点B且与直线OA垂直的直线l交x轴于点Q（）求抛物线的方程和F的坐标；（）判断直线PQ与直线AB的位置关系，并说明理由【解答】（共13分）解：（）抛物线y22px的准线方程为，焦点坐标为，所以有，解得p1，所以抛物线方程为y24x，焦点坐标为F（1，0），（）直线PQAB，方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为xmy+2，联立方程 消元得，y24my80，所以y1+y24m，y1y28，由题意得x1x2y1y20，直线OA的方程为令x2，则，则，因为OABQ，所以，直线BQ的方程为，令y0，则，则，当m0时，直线AB的斜率不
26、存在，x12，可知，直线PQ的斜率不存在，则PQAB，当m0时，则PQAB，综上所述，PQAB方法二：直线PQAB（1）若直线AB的斜率不存在，根据对称性，不妨设，直线AO的方程为，则，直线BQ的方程为，即，令y0，则Q（2，0），则直线PQ的斜率不存在，因此PQAB，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk（x2），k0，联立方程，消元得，k2x24k2x+4k24x0，整理得，k2x2（4k2+4）x+4k20，由韦达定理，可得，x1x24，因为y1y20，可得y1y28显然x1x2y1y20，直线OA的方程为令x2，则，则，因为OABQ，所
27、以，直线BQ的方程为，令y0，则，则，则PQAB，综上所述，PQAB21已知数列an的前n项和满足Sn2an1，数列bn满足bn2+log2an（）求数列an和数列bn的通项公式；（）令，若对于一切的正整数n恒成立，求实数x的取值范围；（）数列an中是否存在，使am，an，ak成等差数列？若存在，求出m，n，k的值；若不存在，请说明理由解：（）根据题意，数列an满足Sn2an1，当n1时，a1S11 （1分）当n2时，anSnSn11，an2an2an1，即an2an1 所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列 所以，nN*； 又由已知bn2+log2an，得 （）依题意得，nN* 因为， 所以当n1时，cn取得最大值c12 因为对于一切的正整数n恒成立，所以2x22x1 解得x1或x3，所以实数x的取值范围是x|x1或x3； （）假设存在，使am，an，ak成等差数列，则2anam+ak，即22n12m1+2k1 两边同时除以2m1，得2nm+11+2km 因为2nm+1为偶数，1+2km为奇数，这与矛盾 所以不存在，使am，an，ak成等差数列