数学人教B版必修4优化训练：2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式 WORD版含解析.doc

1、2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则ABC为（ ）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.无法判断解析：由=(1，1)，=(-4，2)，=(3，-3)，得2=2，2=20，2=18.2+2=2，即AB2+AC2=BC2.ABC为直角三角形.(本题亦可画图，验证=3-3=0)答案：B2.已知m=(3，-1)，n=(x，-2)，且m，n=，则x等于（ ）A.1 B.-1 C.-4 D.4解析：cos=，解得x=1.答案：A3.已知a=(2，5)，b=(，-3)，且ab，则=_.解析：ab，ab

2、=0，即2-15=0，=.答案：4.设=(3，1)，=(-1，2)，则满足+=的坐标(O为原点)为_.解：设=(x，y)，则=(x+3，y+1)，=-=(x+4，y-1).，-(x+3)+2(y+1)=0，即x-2y+1=0. 又，3(y-1)-(x+4)=0，即x-3y+7=0. 由得x=11，y=6.=(11，6).答案：(11，6)10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知a=(m-2，m+3)，b=(2m+1，m-2)，且a与b的夹角大于90，则实数m的取值范围为（ ）A.m2或m B.m2C.m2 D.m2且m解析：a与b夹角大于90ab0，ab=(m-2)(2m+1)+(m+3

3、)(m-2)=3m2-2m-8,解不等式3m2-2m-80，得m2.答案：B2.(2006高考重庆卷，文7)已知三点A(2，3)，B(-1，-1)，C(6，k)，其中k为常数.若|=|,则与的夹角为( )A.arccos() B.或arccosC.arccos D.或-arccos解析：由于|=|,且=(-3，-4)，=(4，k-3)，所以16+(k-3)2=25,解出k=6或0.当k=0时，=0，其中夹角是；当k=6时，cos=，所以=-arccos.答案：D3.已知m=(a，b)，向量n与m垂直，且|m|=|n|，则n的坐标为（ ）A.(b，-a) B.(-a，b)C.(-a，b)或(a，

4、-b) D.(b，-a)或(-b，a)解析：设n的坐标为(x，y)，由|m|=|n|，得a2+b2=x2+y2, 由mn，得ax+by=0, 解组成的方程组得得n的坐标为(b，-a)或(-b，a).答案：D4.若i=(1，0)，j=(0，1)，则与3i+4j垂直的单位向量是_.解析：3i+4j=(3，4).设与3i+4j垂直的单位向量为b=(x，y)，依题意，得故与3i+4j垂直的单位向量为ij或-i+j.答案：ij或-i+j5.已知向量x与a=(2，-1)共线，且ax=-18，则x=_.解析：设x=(2，-)，又ax=-18.4+=-18.=.答案：()6.设向量a=(1，-1),b=(3，

5、-4)，x=a+b，为实数，试证：使模|x|最小的向量x垂直于向量b.证明：因|x|2=xx=|a|2+2|b|2+2ab，故x2=252+14+2=(5+)2+.当5+=0，即=时，|x|最小.此时x=ab=().又=0，向量x与b垂直.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知a=(-1，3)，b=(2，-1)，且(ka+b)(a-2b)，则k的值为（ ）A. B. C. D.解析：由(ka+b)(a-2b)，得(ka+b)(a-2b)=0. 而ka+b=(2-k，3k-1)，a-2b=(-5，5).故-5(2-k)+5(3k-1)=0，解得k=.答案：C2.(2006高考重庆卷，理7

6、)与向量a=()，b=()的夹角相等，且模为1的向量是( )A.() B.()或()C.（） D.（）或（）解析：设所求向量为e=(cos,sin)，由于该向量与a、b的夹角相等，故ae=becos+sin=cossin3cos=-4sin,所以sin=且cos=，或sin=且cos=，所以B选项成立.答案：B3.已知点A(2，3)，若把向量绕原点O按逆时针方向旋转90，得到向量，则B点坐标为( )A.(2，-3) B.(-3，2) C.(3，-2) D.(3，2)解析：设B(x，y)，|=|，(舍去)，故B点坐标为(-3，2).答案：B4.已知A(1，2)，B(4，0)，C(8，6)，D(5

7、，8)四点，则四边形ABCD是( )A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形解析：=(3，-2)，=(-3，2)，=-，四边形ABCD为平行四边形.又=(4，6)，=34-26=0，即，且|，四边形ABCD为矩形.答案：B5.已知a=(2，-3)，b=(1，-2)，且ca，bc=1，则c的坐标为( )A.(3，-2) B.(3，2) C.(-3，-2) D.(-3，2)解析：设c=(x，y)，ca，2x-3y=0. 又bc=1，x-2y=1, 综合知x=-3，y=-2.答案：C6.已知a=(3，1)，b=(x，-3)，且ab，则x等于( )A.3 B.1 C.-1 D.-3解析：ab，3x-3

8、=0.x=1.答案：B7.以原点O及点A(5，2)为顶点作等腰直角OAB，使A=90，则的坐标为_.解析：依题意，设=(x，y)，则由|=|得. 而又由得5x+2y=0. 由联立可解得x=2，y=-5或x=-2，y=5，=(2，-5)或(-2，5).答案：(2，-5)或(-2，5)8.平面向量a，b中，已知a=(4，-3)，|b|=1，且ab=5，则向量b=_.解析：设b=(x，y)，则b=(，).答案：(，)9.设O为原点，点A(a，0)，B(0，a)(a0)，点P在线段AB上，且=t (0t1)，则的最大值为_.解析：=(+)=(+t)=2+t=a2+t(a，0)(-a，a)=a2+t(-

9、a2+0)=(1-t)a2，0t1，-1-t0，01-t1，即a2.答案：a210.已知a=(cos，sin)，b=(cos，sin)(0).(1)求证：a+b与a-b互相垂直；(2)若ka+b与ka-b的模相等，求-(其中kR且k0).(1)证明：依题意知a+b=(cos+cos，sin+sin)，a-b=(cos-cos，sin-sin).又(a+b)(a-b)=(cos+cos)(cos-cos)+(sin+sin)(sin-sin)=cos2-cos2+sin2-sin2=0，所以(a+b)(a-b).(2)解：由于kab=(kcoscos，ksinsin)，所以|kab|=.又因为|

10、ka+b|=|ka-b|，所以2kcos(-)=-2kcos(-)，且k0，故cos(-)=0.又0，所以-=.11.已知a=(cos，sin)，b=(cos，sin)，且|ka+b|=|a-kb|(k0)，(1)用k表示数量积ab；(2)求ab的最小值，并求此时a，b的夹角.解：(1)由|ka+b|=|a-kb|,得(ka+b)2=3(a-kb)2，k2a2+2kab+b2=3a2-6kab+3k2b2.(k2-3)a2+8kab+(1-3k2)b2=0.|a|=1，|b|=1，k2-3+8kab+1-3k2=0，ab=.(2)ab=，由函数单调性定义易知f(k)=(k+)在(0，1上单调递减，在1，+)上单调递增，当k=1时最小值为f(1)=(1+1)=.此时a，b夹角为，cos=，=60.