1、练典型习题提数学素养1(2019东北四市联合体模拟(一)在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30，且经过点A(2，1)以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：cos 3.从坐标原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|ON|12，记点N的轨迹为曲线C.(1)写出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|AQ|的值解：(1)直线l1的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)设N(，)，M(1，1)(0，10)，则，又1cos 13，所以12，即4cos ，所以曲线C的直角坐标方程为x24xy20(x0)
2、(2)设P，Q对应的参数分别为t1，t2，将直线l1的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得(2t)24(2t)(1t)20，即t2t30，130，t1，t2为方程的两个根，所以t1t23，所以|AP|AQ|t1t2|3|3.2(2019四省八校双教研联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中t为参数)以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为cos()1.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)过P(0，1)的直线l交曲线C1于A，B两点，当|PA|PB|8时，求直线l的倾斜角解：(1)消去参数t得曲线C1的普通
3、方程为x24y，曲线C2的极坐标方程可化为cos sin 2，化为直角坐标方程为xy20.(2)设直线l的参数方程为(m为参数，为直线l的倾斜角且90)，代入曲线C1的普通方程中得m2cos24msin 40，所以m1m2，所以|PA|PB|m1m2|8，得45或135，即直线l的倾斜角为45或135.3(2019广州市综合检测(一)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为(sin acos )(aR)(1)写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；(一题多解)(2)若直线C2与曲线C1有两个不同的
4、交点，求a的取值范围解：(1)曲线C1的普通方程为y1x2(1x1)，把xcos ，ysin 代入(sin acos )，得直线C2的直角坐标方程为yax，即axy0.(2)法一：由直线C2axy0，知直线C2恒过点M(0，)由y1x2(1x1)，知当y0时，x1，则直线MP的斜率为k1，直线MQ的斜率为k2.因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2ak1，即a.所以a的取值范围为，法二：联立，消去y得x2ax0，依题意，得x2ax0在1，1上有两个不相等的实根设f(x)x2ax，则解得a.所以a的取值范围为，4(2019湖南省湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy
5、中，直线l的参数方程为(t为参数)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：4sin()(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C与直线l的交点为A，B，Q是曲线C上的动点，求ABQ面积的最大值解：(1)由消去t得xy50，所以直线l的普通方程为xy50.由4sin()4sin 4cos ，得24sin 4cos ，化为直角坐标方程为x2y24x4y，所以曲线C的直角坐标方程为(x2)2(y2)28.(2)由(1)知，曲线C是以(2，2)为圆心，2为半径的圆，直线l过点P(3，2)，可知点P在圆内将直线l的参数方程化为，代入圆的直角坐标方程，得t29t330
6、.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t29，t1t233，所以|AB|t2t1|.又圆心(2，2)到直线l的距离d，所以ABQ面积的最大值为(2).5(2019济南市学习质量评估)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos2sin ，直线l的参数方程为(t为参数，其中a0)，直线l与曲线C相交于M，N两点(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若点P(0，a)满足4，求a的值解：(1)曲线C的极坐标方程可化为2cos2sin ，由，得曲线C的直角坐标方程为yx2.(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入yx2，得t2a0，3a0
7、.设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，t1t2，所以4，化简得64a212a10，解得a或a(舍去)，所以a.6(2019广东省七校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(为参数，实数a0)，曲线C2：(为参数，实数b0)在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：(0，0)与C1交于O，A两点，与C2交于O，B两点，当0时，|OA|1；当时，|OB|2.(1)求a，b的值；(2)求2|OA|2|OA|OB|的最大值解：(1)将C1的参数方程化为普通方程为(xa)2y2a2，其极坐标方程为12acos ，由题意可得，当0时，|OA|2a1，所以a.将C2的参数
8、方程化为普通方程为x2(yb)2b2，其极坐标方程为22bsin ，由题意可得，当时，|OB|2b2，所以b1.(2)由(1)可得C1，C2的方程分别为1cos ，22sin ，所以2|OA|2|OA|OB|2cos22sin cos sin 2cos 21sin(2)1.因为，0，所以0，所以2，所以当2，即时，sin(2)1取得最大值，为1.7(2019合肥市第一次质量检测)已知曲线C的参数方程为(为参数)，以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)P，Q为曲线C上两点，若0，求的值解：(1)由，得曲线C的普通方程是y21，将xcos
9、，ysin 代入，得52sin222cos25，即2(2也可得分)(2)因为2，所以sin2，由0，得OPOQ，设点P的极坐标为(1，)，则点Q的极坐标可设为(2，)，所以.8(2019郑州市第二次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos232sin212，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C交于M，N两点(1)若点P的极坐标为(2，)，求|PM|PN|的值；(2)求曲线C的内接矩形周长的最大值解：(1)由2cos232sin212得x23y212，故曲线C的直角坐标方程为1，点P的直角坐标为(2，0)，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程1中，得t2t40，设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则|PM|PN|t1t2|4.(2)由(1)知，曲线C的直角坐标方程为1，可设曲线C上的动点A(2cos ，2sin )，0，则以A为顶点的内接矩形的周长为4(2cos 2sin )16sin()，0.因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当时取得最大值