1、2016-2017学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1直线xy+1=0的斜率是（）A1B1CD2方程x2+y24x=0表示的圆的圆心和半径分别为（）A（2，0），2B（2，0），4C（2，0），2D（2，0），43若两条直线ax+2y1=0与3x6y1=0垂直，则a的值为（）A4B4C1D14在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于坐标平面xOy的对称点为（）A（1，2，3）B（1，2，3）C（1，2，3）D（1，2，3）5已知三条直线m，n，l，三个平面，下面说法正确的是（）A B
2、mnC lD m6“直线l的方程为y=k（x2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）ABCD8实数x，y满足，若=2xy的最小值为4，则实数a等于（）A4B3C2D6二填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分9双曲线=1的渐近线方程是10已知P是椭圆+=1上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则PF1F2的周长为11已知命题p：x1，x22x+10，则p是（真命题/假命题）12在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），若ABAC，则实数a的
3、值为13已知点P是圆x2+y2=1上的动点，Q是直线l：3x+4y10=0上的动点，则|PQ|的最小值为14如图，在棱长均为2的正三棱柱ABCA1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P、Q分别是侧面BCC1B1、底面ABC内的动点，且A1P平面BCM，PQ平面BCM，则点Q的轨迹的长度为三解答题：本大题共4小题，共44分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（10分）已知圆M过点A（0，），B（1，0），C（3，0）（）求圆M的方程；（）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D、E两点，且|DE|=2，求直线l的方程16（10分）已知抛物线C：y2=4x，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B
4、两点，定点M（5，0）（）若直线l的斜率为1，求ABM的面积；（）若AMB是以M为直角顶点的直角三角形，求直线l的方程17（12分）如图，在底面是正三角形的三棱锥PABC中，D为PC的中点，PA=AB=1，PB=PC=（）求证：PA平面ABC；（）求BD与平面ABC所成角的大小；（）求二面角DABC的余弦值18（12分）已知椭圆C： +=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，BF1F2是边长为2的正三角形（）求椭圆C的标准方程及离心率；（）是否存在过点F2的直线l，交椭圆于两点P、Q，使得PAQF1，如果存在，试求直线l的方程，如果不存在，请说明理由2016-201
5、7学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1直线xy+1=0的斜率是（）A1B1CD【考点】直线的斜率【分析】利用直线斜率的计算公式即可得出【解答】解：直线xy+1=0的斜率=1故选：A【点评】本题考查了直线斜率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2方程x2+y24x=0表示的圆的圆心和半径分别为（）A（2，0），2B（2，0），4C（2，0），2D（2，0），4【考点】圆的一般方程【分析】把圆的方程利用配方法化为标准方程后，即可得到圆心与半径【解答】解：把圆x2
6、+y24x=0的方程化为标准方程得：（x2）2+y2=4，所以圆心坐标为（2，0），半径为2，故选C【点评】此题比较简单，要求学生会把圆的一般方程化为标准方程3若两条直线ax+2y1=0与3x6y1=0垂直，则a的值为（）A4B4C1D1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出【解答】解：两条直线ax+2y1=0与3x6y1=0垂直， =1，解得a=4故选：A【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查推理能力与计算能力，属于基础题4在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于坐标平面xOy的对称点为（）A（1，2，3）B（1，2，3）C（1，
7、2，3）D（1，2，3）【考点】空间中的点的坐标【分析】点（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，c）【解答】解：在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于坐标平面xOy的对称点为（1，2，3）故选：D【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用5已知三条直线m，n，l，三个平面，下面说法正确的是（）A B mnC lD m【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】在A中，与相交或平行；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，l与相交、平行或l；在D中，由线面垂直的判定定理得m【解答】解：三条直线m，n，l，三个平面，知：在A中
8、， 与相交或平行，故A错误；在B中， m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中， l与相交、平行或l，故C错误；在D中， m，由线面垂直的判定定理得m，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用6“直线l的方程为y=k（x2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解：若直线l的方程为y=k（x2），则直线l过（2，0），是充分条件，若直线l经过点（2，0），则直线方
9、程不一定是：y=k（x2），比如直线：x=0，故不是必要条件，故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线方程问题，是一道基础题7一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】如图所示，三棱锥PABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形【解答】解：如图所示，三棱锥PABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形则三棱锥的体积V=故选：B【点评】本题考查了三棱锥的三视图与体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8实数x，y满足，若=2xy的最小值为4，则实数a等于（）A4B3C2D6【考点】简单线性规划【分析】由
10、约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：A（a1，a），化目标函数=2xy为y=2x，由图可知，当直线y=2x过A时，直线在y轴上的截距最大，有最小值为：2（a1）a=4，即a=2故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题二填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分9双曲线=1的渐近线方程是y=2x【考点】双曲线的简单性质【分析】渐近线方程是=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整
11、理得y=2x故答案为y=2x【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程属于基础题10已知P是椭圆+=1上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则PF1F2的周长为6【考点】椭圆的简单性质【分析】确定椭圆中a，b，c，由题意可知PF1F2周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c，进而计算可得PF1F2的周长【解答】解：由题意知：椭圆+=1中a=2，b=，c=1PF1F2周长=2a+2c=4+2=6故答案为：6【点评】本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义等基础知识，属于基础题11已知命题p：x1，x22x+10，则p是假命题（真命题/假命题）
12、【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，写出原命题的否定，进而可得答案【解答】解：命题p：x1，x22x+10，p：x1，x22x+10，由x22x+1=（x1）20在x1时，恒成立，故p为假命题，故答案为：假命题【点评】本题考查的知识点是命题的否定，全称命题，难度不大，属于基础题12在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（2，1，0），C（0，a，1），若ABAC，则实数a的值为1【考点】空间向量的数量积运算【分析】先利用空间向量坐标运算法则得到=（1，1，2），=（1，a，1），再由向量垂直的性质能求出a【解答】解：A（1，0，2
13、），B（2，1，0），C（0，a，1），=（1，1，2），=（1，a，1），ABAC，=1+a+2=0，解得a=1故答案为：1【点评】本题考查空数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用13已知点P是圆x2+y2=1上的动点，Q是直线l：3x+4y10=0上的动点，则|PQ|的最小值为1【考点】直线与圆的位置关系【分析】求圆心到直线的距离减去半径可得最小值【解答】解：圆心（0，0）到直线3x+4y10=0的距离d=2再由dr=21=1，知最小距离为1故答案为：1【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，是基础题14如图，在棱长均为2的正三棱柱ABCA
14、1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P、Q分别是侧面BCC1B1、底面ABC内的动点，且A1P平面BCM，PQ平面BCM，则点Q的轨迹的长度为【考点】平面与平面之间的位置关系；棱柱的结构特征【分析】根据已知可得点Q的轨迹是过MBC的重心，且与BC平行的线段，进而根据正三棱柱ABCA1B1C1中棱长均为2，可得答案【解答】解：点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P平面BCM，则P点的轨迹是过A1点与平面MBC平行的平面与侧面BCC1B1的交线，则P点的轨迹是连接侧棱BB1，CC1中点的线段l，Q是底面ABC内的动点，且PQ平面BCM，则点Q的轨迹是过l与平面MBC垂直的平面与平面MBC的线
15、段m，故线段m过MBC的重心，且与BC平行，由正三棱柱ABCA1B1C1中棱长均为2，故线段m的长为：2=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，棱柱的几何特征，动点的轨迹，难度中档三解答题：本大题共4小题，共44分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（10分）（2016秋海淀区期末）已知圆M过点A（0，），B（1，0），C（3，0）（）求圆M的方程；（）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D、E两点，且|DE|=2，求直线l的方程【考点】直线与圆的位置关系【分析】（）利用待定系数法，求圆M的方程；（）分类讨论，利用|DE|=2，求直线l的方程【解答】解：（）设圆M
16、：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，D=2，E=0，F=3故圆M：x2+y2+2x3=0，即（x+1）2+y2=4（）由（）得，M（1，0）设N为DE中点，则MNl，|DN|=|EN|=此时|MN|=1（6分）当l的斜率不存在时，c=0，此时|MN|=1，符合题意 （7分）当l的斜率存在时，设l：y=kx+2，由题意=1，（8分）解得：k=，（9分）故直线l的方程为3x4y+8=0（10分）综上直线l的方程为x=0或3x4y+8=0【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题16（10分）（2016秋海淀区期末）已知抛物线C：y2=4x，过焦点F的直线
17、l与抛物线C交于A，B两点，定点M（5，0）（）若直线l的斜率为1，求ABM的面积；（）若AMB是以M为直角顶点的直角三角形，求直线l的方程【考点】抛物线的简单性质【分析】（）AB的斜率为1时，l：y=x1，代入抛物线方程得x26x+1=0，求出|AB|，点M到直线AB的距离，即可求ABM的面积；（）设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2=2+，x1x2=1，y1y2=4，由MAMB，求得k值，进而得出结论【解答】解：（）由题意F（1，0），当AB的斜率为1时，l：y=x1 （1分）代入抛物线方程得x26x+1=0（2分）设A（x1，y1），B（x2，y2
18、），x1+x2=6，|AB|=x1+x2+2=8，点M到直线AB的距离d=2ABM的面积S=8； （）易知直线lx时不符合题意可设焦点弦方程为y=k（x1），A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程得k2x2（2k2+4）x+k2=0，则x1+x2=2+，x1x2=1，y1y2=4MAMB， =（x15，y1），=（x25，y2），=x1x25（x1+x2）+25+y1y2=225（2+）=0，k=（9分）故L的方程为y=（x1）（10分）【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题17（12分）（2016秋海淀区期末）如图，
19、在底面是正三角形的三棱锥PABC中，D为PC的中点，PA=AB=1，PB=PC=（）求证：PA平面ABC；（）求BD与平面ABC所成角的大小；（）求二面角DABC的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【分析】（）推导出PAAB，PAAC，由此能证明PA平面ABC （）以A为原点，AB为x轴，AP为z轴，平面ABC中垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD与平面ABC所成角（）求出平面ABD的法向量和平面ABC的法向量，由此能求出二面角DABC的余弦值【解答】证明：（）PA=AB=1，PB=，PAAB，（1分）底面是正三角形，AC=
20、AB=1，PC=，PAAC，（2分）ABAC=A，AB，AC平面ABC，PA平面ABC （）以A为原点，AB为x轴，AP为z轴，平面ABC中垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（，0），P（0，0，1），D（），=（）平面ABC的法向量为=（0，0，1），（6分）记BD与平面ABC所成的角为，则sin=，（7分），BD与平面ABC所成角为（8分）（）设平面ABD的法向量为=（x，y，z），则，取y=2，得=（0，2，） （11分）记二面角DABC的大小为，则cos=，二面角DABC的余弦值为（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求
21、法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用18（12分）（2016秋海淀区期末）已知椭圆C： +=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，BF1F2是边长为2的正三角形（）求椭圆C的标准方程及离心率；（）是否存在过点F2的直线l，交椭圆于两点P、Q，使得PAQF1，如果存在，试求直线l的方程，如果不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由BF1F2是边长为2的正三角形，a=2，c=1，则b2=a2c2=3，e=，即可求得椭圆C的标准方程及离心率；（）解法1：由（）得，F1（1，0），F2（1，0），A（2，0），设直线l
22、的方程为x=my+1，代入椭圆方程，利用韦达定理求得y1+y2=，y1y2=，由向量的共线定理求得y2=2y1，即可求得y1和y2，则即可求得m的值，即可求得直线方程；解法2：当直线lx时， =1，则PAQF1不成立，不符合题意，设直线L的方程为y=k（x1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的共线定理即可求得x1和x2，即可求得k的值，求得直线方程【解答】解：（）椭圆C： +=1（ab0）焦点在x轴上，由BF1F2是边长为2的正三角形，a=2，c=1，则b2=a2c2=3，（2分）椭圆C的标准方程为，椭圆的离心率e=；（）解法1：由（）得，F1（1，0），F2（1，0），A（2，0），设P（
23、x1，y1），Q（x2，y2）显然直线l的斜率不为零，设直线l的方程为x=my+1，则，整理得：（3m2+4）y2+6my9=0，=36m2+36（3m2+4）=144m2+1440，由韦达定理可知：y1+y2=，y1y2=，（7分）则=（x12，y1）=（my11，y1）=（x2+1，y2）=（my2+2，y2），（8分）若PAQF1，则（my11）y2=（my2+2）y1，即y2=2y1，（9分）解得：，则y1y2=，（10分）故=，解得：5m2=4，即m=，（11分）故l的方程为x=y+1或x=y+1，即x2y=0或+2y=0 （12分）解法2：由（）得F1（1，0），F2（1，0），A
24、（2，0），直线lx时， =1，则PAQF1不成立，不符合题意可设直线L的方程为y=k（x1）.（6分），消去y，可得（4k2+3）x28k2x+4k212=0，（7分）则=144（k2+1）0设P（x1，y1），Q（x2，y2）则x1+x2=，x1x2=，（8分）=（x12，y1），=（x2+1，y2）若PAQF1，则，则k（x12）（x21）k（x2+1）（x11）=0化简得2x1+x23=0（9分）联立可得x1=，x2=，（10分）代入可以解得：k=（11分）故l的方程为x2y=0或+2y=0（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题