1、课后导练基础达标1.函数y=的反函数( )A.是奇函数,在(0,+)上是减函数 B.是偶函数,在(0,+)上是减函数C.是奇函数,在(0,+)上是增函数 D.是偶函数,在(0,+)上是增函数解析：令f(x)=(ex-e-x),则f(-x)=(e-x-ex)=-f(x).f(x)为奇函数.又e1,y=ex与y=e-x在(0,+)上分别为增函数和减函数.f(x)在(0,+)上为增函数.答案：C2.若f(10x)=x,则f(5)等于( )A.log510 B.lg5 C.105 D.510解析：方法一:令u=10x则x=lgu.f(u)=lgu.f(5)=lg5.方法二:令10x=5,x=lg5.f
2、(5)=lg5.故选B.答案：B3.若函数f(x)=2x-1+3的反函数的图象经过P点,则P点的一个坐标是( )A.(1,2) B.(5,2) C.(3,1) D.(4,2)解析：y=2x-1+3的反函数为f(x)=1+log2(x-3),检验知过点P(5,2).答案：B4.要使函数y=x2-2ax+1在1,2上存在反函数,则a的取值范围是( )A.a1 B.a2 C.a1或a2 D.1a2解析：f(x)=(x-a)2+1-a2,由反函数存在条件知a1或a2.答案：C5.若y=f-1(x)为函数y=f(x)的反函数,且y=f(x)的图象过点(3,1),则y=f-1（log2x)的图象必过点(
3、)A.(1,8) B.(8,1) C.(2,3) D.(3,2)答案：C6.函数y=-1(x0)的反函数是( )A.y=(x-1) B.y=(x-1)C.y=(x0) D.y=(x0)解析：x0,0.y-1.由y=-1得y+1=,x2=(y+1)3.x0,x=.反函数为y=(x-1).答案：B7.已知函数y=f(x)存在反函数,且f(3)=0,则函数y=f-1(x+1)的图象必过点( )A.(2,0) B.(0,2) C.(3,-1) D.(-1,3)解析：由f(3)=0知y=f(x)过点(3,0),y=f-1(x)过点(0,3).y=f-1(x+1)过点(-1,3).答案：D8.已知函数y=
4、f(x)的图象为右图中的线段AB,则f-1(x)=_.答案：2x-2(0x1)9.设g(x)=则gg()=_.解析：g()=ln=-ln20,gg()=g(-ln2)=e-ln2=e=.答案：综合运用10.模拟函数y=1+ax(0a0且a1)的部分对应值如下表:x02f(x)11.69则不等式f-1(|x|)0的解集为_.解析：由条件知f(2)=1.69,a2=1.69.a=1.3.f(x)=1.3x,f-1(x)=log1.3x.由log1.3|x|0得0|x|1.-1x1且x0.答案：x|-1x-1时,f(x)=y=1-x,则f-1(x)=1-x(x0)满足f(1-x)=f(1+x),比较
5、f(2x)与f(3x)的大小.解析：f(x)满足f(1-x)=f(1+x),f(x)关于直线x=1对称.又a0,f(x)开口向上,当x0时,2x1,且3x3x,f(x)为减函数,故f(2x)0时,2x1,3x1,3x2x,且f(x)为增函数,故f(3x)f(2x);当x=0时,f(3x)=f(2x),故f(3x)f(2x).15.是否存在实数a,使得f(x)=loga(ax)在区间2,4上是增函数?若存在,求出a的取值范围.若不存在,请说明理由.解析：设t=,由对数定义有ax0.at2-t0.a0,t0,t.又知u=at2-t=a(t)2在(,+)上是增函数,故要使f(x)在2,4上单调增,应
6、有a1且2.存在实数a1满足题设要求.拓展探究16.已知函数f(x)=loga(ax-1)(a0,且a1).(1)证明函数f(x)的图象不与y轴相交;(2)当a1时判断函数f(x)的单调性;(3)求函数y=f(2x)与g(x)=f-1(x)的图象的交点坐标.(1)证明:ax-10,ax1.当a1时,x0,这说明a1时,函数图象在y轴右侧;当0a1时,x0,说明0a0,且a1时,f(x)的图象总不与y轴相交.(2)证明:当a1时,有x0,由0x1x2,得1a-1,1.loga0,即f(x2)f(x1).当a1时,f(x)在定义域(0,+)上是增函数.(3)解析：f(x)=loga(ax-1),f-1(x)=loga(ax+1)(xR).f(2x)=f-1(x),loga(a2x-1)=loga(ax+1).a2x-ax-2=0.ax=2或ax=-1(舍去).解之,得x=loga2.f-1(loga2)=loga(+1)=loga3.交点坐标为(loga2,loga3).
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