1、江苏省上冈高级中学春学期高一数学周练习（4） 一、单选题1. 已知向量a=(x,2),b=(2,y),c=(2,4),且a/c,bc,则|ab|=()A. 3B. 10C. 11D. 232. 已知向量，满足+3=(1,1)，则|3|=()A. B. 2C. D. 13. 已知向量m=(x,3)，n=(x+3,2)，若mn=|m|2，则m与2mn的夹角为()A. 30B. 60C. 45D. 1354. 如图所示，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，对角线AC、BD交于点O，点E是线段AO的中点，点F是线段BC的中点，则AF=()A. 12DE74COB. 23DECOC. 23DE23COD
2、. 12DE54CO5. 在ABC中，向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)BC=0，且BA|BA|BCBC=22，则ABC为( )A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等腰直角三角形6. 已知sin(+6)=45,cos(6)=1213,(0,6)，则cos(+)=()A. 6365B. 3365C. 1665D. 56657. 设，c=62，则有( )A. abcB. acbC. bcaD. bac8. 已知tan和tan4是方程x2+ax+b=0的两个实数根，那么a，b间的关系是( )A. a+b+1=0B. a+b1=0C. ab+1=0D. ab1=0
3、二、多选题9. 在平面直角坐标系xOy中，已知ABC中，D为BC边中点，点E满足AB=2ED，若AB=(2,5)，AC=(1,3)，则( )A. AD=(32,4)B. |BD|=54C. CE=(0,13)D. CEAD10. 已知|a|=1，b=(3,4)，则以下结论正确的是( )A. 若，则|a+b|=6B. 若ab，则|a+b|=|ab|C. 若，则a=35,45D. ab的最小值为411. 已知f(x)=sin2x,g(x)=cos2x，下列四个结论正确的是( )A. f(x)的图象向左平移2个单位长度，即可得到g(x)的图象B. 当x=8时，函数f(x)g(x)取得最大值2C. y
4、=f(x)+g(x)图象的对称中心是(k28,0),kzD. y=f(x)g(x)在区间(38,2)上单调递增12. 已知(4,4)，且tan=m，则下列正确的有( )A. cos=1m2+1B. tan()=mC. tan(4)=1+m1mD. tan2=2m1m2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. tan20+tan40+3tan20tan40=14. 如图，在长方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD的中点，若MN=1AM+2BN，1，2R，则1+2的值为_15. 如图，菱形ABCD的边长为2，A=60，M为DC的中点，则AMAB的值为_ 16. 已知点O是ABC的外心，且
5、OA+OB+CO=0，则ABC=_四、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知a=(1,0)，b=(2,1)(1)当k为何值时，kab与a+2b共线?(2)若AB=2a+3b，且A，B，C三点共线，求m的值18. 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,ab=1()求向量a,b的夹角；()若向量a(a+b)，求实数的值19. 如图所示，已知在OAB中，点C是以A为对称中心的B点的对称点，点D是把OB分成2:1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA=a，OB=b(1)用a和b表示向量OC，DC；(2)若OE=OA，求实数的值20. 已知向量a=(cosx,sinx)，b=(3,3)，x
6、0,(1)若a/b，求x的值；(2)记f(x)=ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值21. 已知cos=17，cos()=1314，且00,0,|2)的部分图象如图(1)求f(x)的解析式；(2)设，为锐角，cos=55，sin(+)=22565，求f(2)的值答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查向量的数量积，考查向量平行及垂直的判断与证明，考查向量的模，考查计算能力，属于基础题由题已知计算可得x=1，y=1，即可得ab=(3,1)，即可得到答案【解答】解：由题得向量a=(x,2)，b=(2,y)，c=(2,4)，且a/c，bc，a/cx2=24，bc44y=0，x=1
7、，y=1，a=(1,2)，b=(2,1)，即ab=(3,1)，|ab|=32+1=10，故选B2.【答案】A【解析】【分析】本题考查数量积与垂直和向量的模，属于基础题由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得结果【解答】解：由ab得，ab=0，所以|a3b|=a3b2=a2+9b26ab=a2+9b2+6ab=a+3b2=|a+3b|=2，故选：A3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量数量积的坐标运算，向量的模，向量夹角的余弦公式，属于基础题根据mn=|m|2即可求出x=1，从而可得出m=(1,3),2mn=(2,4)，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cosm,2mn
8、=22，即可求出夹角的大小【解答】解：mn=|m|2，x(x+3)+6=x2+9，解得x=1，m=(1,3),n=(4,2)，2mn=(2,4)，cosm,2mn=m(2mn)|m|2mn|=2+122510=22，0m,2mn180，m与2mn的夹角为45故选：C4.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的有关概念，向量的加法、减法、数乘运算，平面向量的基本定理，属于中档题以AB，AD为基底，分别表示向量CO，DE，AF，根据平向量的基本定理以及相等向量建立方程组，解之即可得出结论【解答】解：以AB，AD为基底，CO=12AC=12AB12AD，DE=AEAD=14ACAD=14AD+ABA
9、D=14AB34AD，AF=AB+BF=AB+12AD设AF=xDE+yCO，则AB+12AD=x14AB34AD+y12AB12AD所以14x12y=1,34x12y=12,解得x=12,y=74.即AF=12DE74CO故选A5.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量的数量积的几何应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力，属于中档题利用单位向量的定义及向量的数量积为0时两向量垂直，得到等腰三角形，利用向量的数量积求出三角形边的夹角，得到等腰直角三角形【解答】解：因为(ABAB+ACAC)BC=0，所以BAC的平分线与BC垂直，所以三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC又因为
10、BABABCBC=22，所以ABC=45，所以三角形ABC是等腰直角三角形故选D6.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识要点是三角恒等变换，同角三角函数关系式，主要考查学生的运算能力和转化能力，直接利用同角三角函数关系式求出cos(+6)=35，sin(6)=513，再由cos(+)=cos(+6)+(6)，运用两角和的余弦函数公式求出结果【解答】解：已知：sin(+6)=45,cos(6)=1213,(0,6)，所以：6+63，故：cos(+6)=35，660，所以：sin(6)=513，则：cos(+)=cos(+6)+(6)=cos(+6)cos(6)sin(+6)sin(6)=35
11、1213(513)45=5665故选D7.【答案】B【解析】【分析】本题考查两角和的正弦公式及正弦函数的性质，关键在于先把a，b，c分别化简成sinx的形式，再结合y=sinx的单调性即可得解，属于基础题【解答】解：，而在单调递增，acb故选B8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查两角和与差的正切公式的运用由题意，根据韦达定理tan+tan4=a，tantan4=b，而tan4=1=tan+(4)，根据三角函数正切求和公式整体代入即可求解【解答】解：由条件得tan+tan4=a，tantan4=b，a=1b，即ab+1=0故选C9.【答案】AC【解析】【分析】本题主要考查了向量的坐标运算，
12、向量垂直的判断，向量的数量积，向量的加减法，向量的模，属于中档题.由AD=12AB+AC，可得判断A，BD=ADAB=12,1，可判断B，由AE=2ED，可得AE=1,83，进而可判断C，因为CEAD0，可判断D【解答】解：因为D为BC中点，所以AD=12AB+AC，由AB=2,5，AC=1,3，得AD=12(2,5)+(1,3)=(32,4)，故A正确；BD=ADAB=12,1，所以|BD|=14+1=52，故B错误；又因为AE=2ED，所以AE=23AD，从而AE=1,83，所以CE=CA+AE=1,3+1,83=0,13，故C正确；因为CEAD0，所以CE与AD不垂直，故D错误故选AC1
13、0.【答案】BD【解析】【分析】本题考查平面向量的共线与垂直的充要条件以及向量模的求法，考查平面向量的数量积，属于中档题由条件逐一判断可得结论【解答】解：对于A，设a=(x,y)，由|a|=1，所以x2+y2=1，由a/b，所以3y4x=0，由x2+y2=13y4x=0，解得x=35y=45或x=35y=45,所以a=(35,45)或a=(35,45)，当a=(35,45)时，|a+b|=(185,245)=6，当a=(35,45)时，|a+b|=(125,165)=4，故A错误；对于B，由于，所以可得ab=0，所以2ab=2ab，所以a2+b2+2ab=a2+b22ab，即(a+b)2=(a
14、b)2，即|a+b|=|ab|，故B正确；对于C，由A得，a=(35,45)或a=(35,45)，故C错误；对于D，|ab|=(ab)2=a2+b22ab=1+25215cos2610=4，当且仅当a与b共线且同向时取等号，所以|ab|的最小值为4，故D正确，故选BD11.【答案】CD【解析】【分析】本题考查的是的性质，辅助角公式，二倍角公式，属于基础题由的性质，辅助角公式，二倍角公式，逐个判断即可得出答案【解答】解：由fx的图象向左平移2个单位长度得，故A错误；由，当，当时，函数fxgx取得最大值2，故B错误；由，令，解得，y=fx+gx图象的对称中心是k28,0,kZ，故C正确；由，令，k
15、Z，解得，kZ，的单调递增区间为，kZ，当k=1时，单调递增区间为(38,58)，(38,2)(38,58)，y=fxgx在区间38,2上单调递增，故D正确，故选CD12.【答案】AD【解析】【分析】本题考查同角三角函数关系式、诱导公式、两角差的正切公式以及二倍角公式，属基础题利用以上公式逐项分析求解即可【解答】解：A.因为(4,4)，所以cos0因为tan=m，所以cos2=cos2sin2+cos2=11+tan2=11+m2，所以cos=1m2+1，A正确；B.tan()=tan=m，B错误；C.，故C错误；D.tan2=2tan1tan2=2m1m2，故D正确故选：AD13.【答案】3
16、【解析】【分析】本题主要考查了两角和的正切公式，属于基础题利用tan+tan=tan+1tantan以及特殊角的三角函数值进行计算【解答】解：tan20+tan40+3tan20tan40=tan(20+40)(1tan20tan40)+3tan20tan40=3(1tan20tan40)+3tan20tan40=3故答案为314.【答案】25【解析】【分析】本题考查了向量的线性运算，考查了向量在平面几何的应用，考查了学生的推理能力与计算能力，属于中档题设AB=a，AD=b，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，用坐标表示MN=1AM+2BN,1,2R，即可求出1
17、,2的值，进而得到答案【解答】解：设AB=a，AD=b，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示坐标系，则A(0,0)，B(a,0)，C(a,b)，D(0,b)，M(a,12b)，N(12a,b)，则MN=(12a,12b)，AM=(a,12b)，BN=(12a,b)，MN=1AM+2BN,1,2R，即(12a,12b)=1(a,12b)+2(12a,b)，则12a=1a122a12b=121b+2b，即12=112212=121+2，解得1=15，2=35，则1+2=25故答案为2515.【答案】4【解析】【分析】此题考查了平面向量数量积的运算，熟练掌握运算法则是
18、解本题的关键，是中档题方法一：建立适当的坐标系，如图所示，找出M与B坐标，利用平面向量的数量积运算法则即可确定出所求式子的值方法二：连接BM，证明BMAB，则AMAB=|AB|2=4，即可得解【解答】解：方法一：建立平面直角坐标系，如下图所示，菱形ABCD的边长为2，A=60，M为DC的中点，D(1,3)，C(3,3)，线段CD中点M坐标为M(2,3)，AM=(2,3)，AB=(2,0)，则AMAB=4，故答案为4方法二：连接BM，四边形ABCD为菱形，BAD=60，且M为CD中点，BCM中，C=60，BC=2MC=2，由余弦定理可得BM=3，BM+CM=BC，即BMC=90，即BMMC，又菱
19、形ABCD中AB/CD，则ABBM，AMAB=|AM|AB|cosMAB=|AB|2=4，故答案为416.【答案】6【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积以及模的运算和性质，考查三角形的外心的性质，属中档题因为需要求ABC的大小，所以考虑将OA+OB+CO=0改写成OAOC=OB，然后利用数量积和模的运算性质即可求出OAOC，从而可求出AOC，进一步利用三角形的外接圆的性质即可求得答案【解答】解：点O是ABC的外心，设外接圆半径为R，OA=OB=OC=R又由OA+OB+CO=0，得：OAOC=OB，OAOC2=OB2，即OA22OAOC+OC2=OB2OAOC=12R2，于是cosAOC=1
20、2AOC=OA,OC0,，AOC=3，根据三角形的外接圆的性质，ABC=12AOC=6故答案为：617.【答案】解：(1)kab=k(1,0)(2,1)=(k2,1)，a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2)因为kab与a+2b共线，所以2(k2)(1)5=0，解得k=12(2)因为A，B，C三点共线，所以AB=BC(R)，即2a+3b=(a+mb)，所以2=,3=m,解得m=32【解析】本题考查向量的坐标运算、向量共线的充要条件(1)结合已知易得kab=k2,1,a+2b=5,2，再结合向量共线定理可得2(k2)(1)5=0，解方程即可求出k的值；(2)由A，B，C三点共线，可得AB=
21、BC，再结合已知条件可得=2,3=m，据此可求得m的值18.【答案】解：()因为向量a,b满足|a|=1,|b|=2,ab=1故cos=ab|a|b|=112=12；因为0,；故=3()因为向量a(a+b)，故a(a+b)=0，即a2+ab=0，所以1+=0，解得=1【解析】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力()直接代入夹角计算公式即可求解；()直接根据向量垂直对应的数量积为0即可求解结论19.【答案】解：(1)点C是以A为中心的点B的对称点，点A是线段BC的中点，OA=12(OB+OC)，即a=12(b+OC)，解得OC=2ab，因此DC=DO+OC=23OB+
22、OC=23b+2ab=2a53b；所以，OC=2ab;DC=2a53b(2)C，E，D三点共线，存在实数m使得OE=mOC+(1m)OD=m(2ab)+(1m)23b=2ma+25m3b，又OE=OA=a，2m=25m3=0，解得=45【解析】本题考查平面向量线性运算、向量共线定理和平面向量基本定理的应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题(1)由于点C与点B关于点A对称，可得OA=12(OB+OC)，解得OC=2ab.即可得出DC=DO+OC；(2)由C，E，D三点共线，根据向量共线定理存在实数m使得OE=mOC+(1m)OD.另一方面OE=OA=a，即可得出结果20.【答案】解：(1)a
23、=(cosx,sinx)，b=(3,3)，a/b，3cosx=3sinx，当cosx=0时，sinx=1，不合题意，当cosx0时，tanx=33，x0,，x=56；(2)f(x)=ab=3cosx3sinx=23(32cosx12sinx)=23cos(x+6)，x0,，x+66,76，1cos(x+6)32，当x=0时，f(x)有最大值，最大值3，当x=56时，f(x)有最小值，最小值23【解析】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题(1)根据向量的平行即可得到tanx=33，问题得以解决(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求
24、出21.【答案】解：(1)由cos=17，02，得sin=1cos2=1(17)2=437tan=sincos=4377=43，tan2=2tan1tan2=2431(43)2=8347(2)由02，得02cos()=1314，sin()=1cos2()=1(1314)2=3314由=()，得cos=cos()=coscos()+sinsin()=171314+4373314=12，又02，=3【解析】本题考查同角三角函数的关系，二倍角公式，两角和与差的三角函数公式等知识，属于中档题(1)先求sin，再求tan，用正切函数的二倍角公式可得结果；(2)先求sin()，再根据=()求得cos，即得
25、结果22.【答案】解：(1)由图可得=8+38=2，点在函数图象上，28+=2k,kZ，=4+2k，kZ，又sin+=22565，+为钝角，cos+=19565，sin=sin+=2256555+19565255=1213，cos=513，f2=2cos+4=cossin=713【解析】本题主要考查三角函数的图象和两角和与差的三角函数公式，属于一般题(1)结合图象求得的值，代入点可求得的值，代入点0,1可求得A的值，由此得到函数fx的解析式；(2)计算sin的值，由于sinsin+，可知+为钝角，由此求得cos+的值，通过sin=sin+，展开后可计算得sin的值，进而取得cos的值，根据f2=2cos+4=cossin求值