1、课后提升作业 十四平面与平面垂直的判定(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.已知二面角-l-的大小为60，m，n为异面直线，且m，n，则m，n所成的角为()A.30B.60C.90D.120【解析】选B.由题可知，因为有m，n，所以m，n所成的角与二面角-l-所成的角相等或者互补，因为二面角-l-的大小为60，所以异面直线m，n所成的角为60.2.(2016吉安高二检测)在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是()A.BC平面PDFB.DF平面PAEC.平面PDF平面PAED.平面PDF平面ABC【解析】选D.D，F分别为AB，A
2、C的中点，DF为三角形的中位线，则BCDF，依据线面平行判定定理可知，BC平面PDF；又E为BC的中点，连接AE，PE，则BCPE，BCAE，依据线面垂直判定定理可知BC平面PAE，因BCDF，则DF平面PAE，又DF平面PDF，则平面PDF平面PAE，所以只有D不成立.【延伸探究】本题中若将条件“D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点”改为“PCAB，ACPC”，则下列结论成立的是()A.平面PAB平面PBCB.平面PAB平面PACC.平面PAB平面ABCD.平面PBC平面ABC【解析】选D.因为PCAB，PCAC，ABAC=A，所以PC平面ABC，又PC平面PBC，所以平面PBC平面AB
3、C.3.(2016太原高二检测)如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A.2对B.3对C.4对D.5对【解析】选D.观察图形，根据空间垂直关系的判定方法，可以得出下面几组互相垂直的平面：平面PAD平面ABCD，平面PAB平面ABCD，平面PCD平面PAD，平面PBC平面PAB，平面PAD平面PAB，一共5对.4.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法中正确的是()A.若，m，n，则mnB.若，m，n，则mnC.若mn，m，n，则D.若m，mn，n，则【解析】选D.对于选项A，分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相交、异面都可能，但未必垂直；对于选项B，
4、分别在两个平行平面内的两条直线平行、异面都可能；对于选项C，两个平面分别经过两垂直直线中的一条，不能保证两个平面垂直；对于选项D，m，mn，则n；又因为n，则内存在与n平行的直线l，因为n，则l，由于l，l，所以.5.如图，在三棱锥P-ABC中，已知PCBC，PCAC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()A.平面EFG平面PBCB.平面EFG平面ABCC.BPC是直线EF与直线PC所成的角D.FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角【解析】选D.A正确，因为GFPC，GECB，GFGE=G，PCCB=C，所以平面EFG平面PBC；B正确，因为PCBC，PCAC，PC
5、GF，所以GFBC，GFAC，又BCAC=C，所以GF平面ABC，所以平面EFG平面ABC；C正确，易知EFBP，所以BPC是直线EF与直线PC所成的角；D错误，因为GE与AB不垂直，所以FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角.6.(2016嘉峪关高一检测)三棱锥的顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，高是，侧棱长为，那么侧面与底面所成的二面角是()A.60B.30C.45D.75【解析】选A.过B作AC边上的中线BD，交AC于D，连接VD，则V在底面ABC上的射影O点在中线BD上，且BO=2OD，因为VO平面ABC，所以BO2=VB2-VO2，又VO=，VB=，所以BO=2，OD
6、=1，所以cosVDO=，所以VDO=60.即平面VAC与平面ABC所成二面角为60.7.(2016赣州高二检测)如图，P是正方体ABCD-A1B1C1D1中BC1上的动点，下列说法：APB1C；BP与CD1所成的角是60；为定值；B1P平面D1AC；二面角P-AB-C的平面角为45.其中正确说法的个数有()A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】选C.ABBC，ABBB1，所以平面ABP平面BB1C1C，从而APB1C正确；由于CD1A1B，并且BC1与A1B的夹角是60，故BP与CD1所成的角是60正确；虽然点P变化，但P到AD1的距离始终不变，故为定值正确；P点变化，但二面角P-AB-C
7、都是面AD1C1B与面ABCD所成的角，故二面角P-AB-C的平面角为45正确.8.如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；AB与CD所成的角为60；AB与平面BCD所成的角为60.其中错误的结论是()A.B.C.D.【解析】选D.如图所示，取BD的中点E，连接AE，EC，AC，易知BD面AEC，所以正确；设正方形的边长为a，则AE=EC=a，由勾股定理可得AC=a，所以ACD是等边三角形，正确；取BC的中点F，AC的中点G，连接EF，EG，FG，则EF=FG=a，EG=a，所以AB与CD所成的角为60，正确；AB与平面BCD所
8、成的角为ABE=45，所以错误.二、填空题(每小题5分，共10分)9.(2016济宁高一检测)如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点.有以下四个命题：PA平面MOB；MO平面PAC；OC平面PAC；平面PAC平面PBC.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)【解析】不正确，因为PA平面MOB；正确，因为MOPA，而且MO平面PAC，所以MO平面PAC；不正确，OC不垂直于AC；正确，因为BCAC，BCPA，ACPA=A，所以BC平面PAC.答案：【补偿训练】(2016广州高一检测)如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正
9、六边形，PA平面ABC，PA=2AB，则下列结论中：PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA=45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上).【解析】对于，由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六边形的性质得AEAB，PAAB=A，得AE平面PAB，又PB平面PAB，所以AEPB，正确；对于，因为平面PAB平面ABC，所以平面ABC平面PBC不成立，错；对于，由正六边形的性质得BCAD，又AD平面PAD，所以BC平面PAD，所以直线BC平面PAE也不成立，错；对于，在RtPAD中，PA=AD=2AB，所以PDA=45，所以正确.答案：10.(2016台州高二检测
10、)A是锐二面角-l-的内一点，AB于点B，AB=，A到l的距离为2，则二面角-l-的平面角大小为_.【解析】由题可知，设过点A作l的垂线，垂足为C，由于AB，则三角形ABC为直角三角形，ACB就是二面角-l-的平面角，BC=1，因此ACB=60，即二面角-l-的平面角是60.答案：60三、解答题(每小题10分，共20分)11.如图所示，已知三棱锥P-ABC，ACB=90，CB=4，AB=20，D为AB的中点，且PDB是正三角形，PAPC.(1)求证：平面PAC平面ABC.(2)求二面角D-AP-C的正弦值.【解析】(1)因为D是AB的中点，PDB是正三角形，AB=20，所以PD=AB=10，所
11、以APPB.又APPC，PBPC=P，所以AP平面PBC.又BC平面PBC，所以APBC.又ACBC，APAC=A，所以BC平面PAC.又BC平面ABC，所以平面PAC平面ABC.(2)因为PAPC，且PAPB，所以BPC是二面角D-AP-C的平面角.由(1)知BC平面PAC，则BCPC，所以sinBPC=.12.(2016山东高考)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O的直径,FB是圆台的一条母线.(1)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH平面ABC.(2)已知EF=FB=AC=2,AB=BC.求二面角F-BC-A的余弦值.【解析】(1)如图,设FC中点为I,连
12、接GI,HI,在CEF中,GIEF,又EFOB,所以GIOB;在CFB中,HIBC,又HIGI=I,所以,平面GHI平面ABC,又因为GH平面GHI,GH平面ABC,所以GH平面ABC.(2)如图,连接OO,过点F作FM垂直OB于点M,则有FMOO.又OO平面ABC,所以FM平面ABC,可得FM=3.过点M作MNBC,垂足为N,易得FNBC,从而FNM为二面角F-BC-A的平面角.又AB=BC,AC为下底面圆的直径,可得MN=BMsin45=.由勾股定理可得,FN=,从而cosFNM=.所以二面角F-BC-A的余弦值为.【能力挑战题】如图，四边形ABCD是正方形，PAB与PAD均是以A为直角顶
13、点的等腰直角三角形，点F是PB的中点，点E是边BC上的任意一点.(1)求证：AFEF.(2)求二面角A-PC-B的平面角的正弦值.【解析】(1)因为F是PB的中点，且PA=AB，所以AFPB，因为PAB与PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，所以PAAD，PAAB.因为ADAB=A，AD平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA平面ABCD.因为BC平面ABCD，所以PABC.因为四边形ABCD是正方形，所以BCAB.因为PAAB=A，PA平面PAB，AB平面PAB，所以BC平面PAB.因为AF平面PAB，所以BCAF.因为PBBC=B，PB平面PBC，BC平面PBC，所以AF平面PBC.因为EF平面PBC，所以AFEF.(2)作FHPC于点H，连接AH，因为AF平面PBC，PC平面PBC，所以AFPC.因为AFFH=F，AF平面AFH，FH平面AFH，所以PC平面AFH.因为AH平面AFH，所以PCAH.所以AHF为二面角A-PC-B的平面角.设正方形ABCD的边长为2，则PA=AB=2，AC=2，在RtPAC中，PC=2，AH=，在RtAFH中，sinAHF=，所以二面角A-PC-B的平面角的正弦值为.