1、模板3 实际应用问题 例 3(满分 14 分)如图所示：一吊灯的下圆环直径为 4 m，圆心为 O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即 OB)为 2 m，在圆环上设置三个等分点 A1，A2，A3.点 C 为 OB 上一点(不包含端点 O、B)，同时点 C 与点 A1，A2，A3，B 均用细绳相连接，且细绳 CA1，CA2，CA3 的长度相等.设细绳的总长为 y.()设CA1O(rad)，将 y 表示成 的函数关系式；()请你设计，当角 正弦值的大小是多少时，细绳总长 y 最小，并指明此时 BC 应为多长.满分解答解()在 RtCOA1 中，CA12cos ，CO2ta
2、n ，(2 分)y3CA1CB32cos 22tan 2（3sin ）cos 204.(6 分)()由()得 ycos2（3sin ）（sin ）cos223sin 1cos2，令 y0，则 sin 13，(9 分)当 sin 13时，y0；sin 13时，y0，ysin 在0，4 上是增函数，当角 满足 sin 13时，y 最小，最小为 4 22；此时BC2 22m.(14 分)得分说明表示出CA，CO，得2分；求出函数关系式，得4分；但不注明范围，扣1分；对y求导正确，得3分；此后求出结果得5分.解题模板解决实际问题的一般步骤：(1)阅读题目，理解题意；(2)设置变量，建立函数关系；(3)
3、应用函数知识或数学方法解决问题；(4)检验，作答.【训练 3】如图，在 C 城周边已有两条公路 l1，l2 在点 O 处交汇.已知 OC(2 6)km，AOB75，AOC45，现规划在公路 l1，l2 上分别选择 A，B 两处为交汇点(异于点 O)直接修建一条公路通过 C城.设 OAx km，OBy km.(1)求 y 关于 x 的函数关系式并指出它的定义域；(2)试确定点 A，B 的位置，使OAB 的面积最小.解(1)因为AOC 的面积与BOC 的面积之和等于AOB的面积，所以12x(2 6)sin 4512y(2 6)sin 3012xysin 75，即 22 x(2 6)12y(2 6)6 24xy，所以 y2 2xx2(x2).(2)AOB 的面积 S12xysin 75 6 28xy 312 x2x2 312(x2 4x24)31284(31).当且仅当 x4 时取等号，此时 y4 2.故 OA4 km，OB4 2 km 时，OAB 面积的最小值为 4(31)km2.
