1、4.数列、不等式 1.等差数列的有关概念及运算(1)等差数列的判断方法：定义法 an1and(d 为常数)或 an1ananan1(n2).(2)等差数列的通项：ana1(n1)d 或 anam(nm)d.(3)等差数列的前 n 项和：Snn（a1an）2，Snna1n（n1）2d.回扣问题1 已知等差数列an的前n项和为Sn，S749，a4和a8的等差中项为11，则an_，Sn_.答案 2n1 n2 2.等差数列的性质(1)当公差 d0 时，等差数列的通项公式 ana1(n1)ddna1d 是关于 n 的一次函数，且斜率为公差 d；前n 项和 Snna1n（n1）2dd2n2(a1d2)n
2、是关于 n 的二次函数且常数项为 0.(2)若公差 d0，则为递增等差数列；若公差 d0，则为递减等差数列；若公差 d0，则为常数列.(3)当 mnpq 时，则有 amanapaq，特别地，当 mn2p 时，则有 aman2ap.(4)Sn，S2nSn，S3nS2n 成等差数列.回扣问题 2 等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且SnTn3n12n3，则a8b8_.答案 433.等比数列的有关概念及运算(1)等比数列的判断方法：定义法an1an q(q 为常数)，其中 q0，an0 或an1an anan1(n2).(2)等比数列的通项：ana1qn1 或 anamqnm.(3
3、)等比数列的前 n 项和：当 q1 时，Snna1；当 q1时，Sna1（1qn）1qa1anq1q.(4)等比中项：若 a，A，b 成等比数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项.值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为 ab.如已知两个正数 a，b(ab)的等差中项为 A，等比中项为 B，则 A 与 B的大小关系为 AB.回扣问题 3 已知等比数列an中，a332，S392，求 a1 与q.答案 a132，q1 或 a16，q124.等比数列的性质(1)若an，bn都是等比数列，则anbn也是等比数列；(2)若数列an为等比数列，则数列an可能
4、为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列；(3)等比数列中，当mnpq时，amanapaq；回扣问题4 在等比数列an中，a3a8124，a4a7512，公比q是整数，则a10_.答案 512 5.数列求和的常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.(1)分组法求数列的和：如 an2n3n；(2)错位相减法求和：如an(2n1)2n；(3)裂项法求和：如求 1 11211231123n；(4)倒序相加法求和.回扣问题 5 数列an满足 anan112(nN，n1)，若 a21，Sn 是an前 n 项和，则 S21 的值为_.答案 926.求数列通项常见方法(1)已知数列
5、的前 n 项和 Sn，求通项 an，可利用公式 anS1（n1），SnSn1（n2）.由 Sn 求 an 时，易忽略 n1 的情况.(2)形如 an1anf(n)可采用累加求和法，例如an满足 a11，anan12n，求 an；(3)形如 an1cand 可采用构造法，例如 a11，an3an12，求 an.(4)归纳法，例如已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 S2n(an2)S n10，求 Sn，an.回扣问题6 已知数列an的前n项和Snn21，则an_.答案 2，n12n1，n27.不等式的基本性质(1)abba；(2)ab，bcac；(3)abacbc；(4)若c0，则abacbc
6、；若c0，则abacbc；(5)若a0，b0，则abanbn(nN*，n2)回扣问题7 已知1xy1，1xy3，则3xy的取值范围是_.答案 1，7 8.解不等式包括一元一次不等式，一元二次不等式，分式不等式和含绝对值的不等式等.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示.回扣问题 8 不等式11x1 的解集为_.答案(，1)(1，)9.基本不等式：ab2 ab(a，b0)(1)推广：a2b22ab2 ab 21a1b(a，b0).(2)用法：已知 x，y 都是正数，则若积 xy 是定值 p，则当 xy 时，和 xy 有最小值 2 p；若和 xy 是定值 s，则当 xy 时，积 xy 有最大值14s2.利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件.回扣问题 9 已知 a0，b0，ab1，则 y1a4b的最小值是_.答案 9 10.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中 y的系数的正负；注意最优整数解.回扣问题 10 已知xy20，xy40，2xy50.求：可行域所在区域面积_；zx2y 的最大值_；zx2y210y25 的最小值_.zy1x1的范围是_；zaxy 仅在 C(3，1)处取最小值，求 a 的范围_.答案 12 25 92 12，2(2，1)