1、北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（文史类） 2016.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则=A B C D2. 下列函数中，既是奇函数又存在零点的是A B C D 开始m =1, i=1m=m (2-i)+1 m=m (2-i)+1 (2-i)+1i= i +1m=0?结束输出i是否3. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为A B C D 第3题图4在一
2、段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 80 90 100 110 120 130 车速（km/h）0.0050.0100.0200.0300.035A辆 B辆 C辆 D辆 4 第 4题图5. 已知m，n表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且,则下列说法正确的是 A若，则 B若，则 C若，则 D若，则6.设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且与轴交于点,若（为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为
3、 A. B. C. D. 7. 已知为圆()上两个不同的点（为圆心），且满足，则 A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为，如果存在正实数，使得对任意，当时，都有，则称为上的“型增函数”.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（），若为上的“20型增函数”，则实数的取值范围是A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.计算: (为虚数单位). 10. 双曲线的渐近线方程为 . 11. 在中，若，则 , . 12已知正数，满足约束条件，则的最小值为 .13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 ，
4、侧面积为 . 343正视图侧视图俯视图 第13题图14. 在中，为线段的中点，若的长为定值，则 面积的最大值为 （用表示）. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，（）求数列和的通项公式；（）设，求数列的前项和16. （本小题满分13分）已知函数的图象过点.（）求实数的值及函数的最小正周期；（）求函数在上的最小值. 17. （本小题满分13分）某中学从高一年级、高二年级、高三年级各选1名男同学和1名女同学，组成社区服务小组现从这个社区服务小组的6名同学中随机选取2名同学，到
5、社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）（）求选出的2人都是女同学的概率； （）设 “选出的2人来自不同年级且是1名男同学和1名女同学”为事件N，求事件N发生的概率18. （本小题满分14分） 如图，在四棱锥中，底面是正方形点是棱的中点，平面与棱交于点（）求证：；（）若，且平面平 面，试证明平面；（）在（）的条件下，线段上是否存在点 ,使得平面?（直接给出结论，不 需要说明理由）19. （本小题满分13分） 已知函数，.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，试判断函数是否存在零点,并说明理由；（）求函数的单调区间.20. （本小题满分14分） 已知圆的切线与椭圆相交
6、于，两点.（）求椭圆的离心率；（）求证:；（）求面积的最大值.北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试 数学答案（文史类） 2016.1 一、选择题：（满分40分）题号12345678答案AD BDBCAD二、填空题：（满分30分）题号91011121314答案, （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15. （本小题满分13分）解:（）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且. 依题意有，由,又，解得 所以,. ,. 7分（）因为所以前项和 所以前项和13分16. （本小题满分13分）解：（）由 . 因为函数的图象过点，所以.解得. 函数
7、的最小正周期为. 7分（）因为，所以. 则.所以当，即时，函数在上的最小值为. 13分 17.（本小题满分13分）解：从高一年级、高二年级、高三年级选出的男同学分别记为A，B，C，女同学分别记为X，Y，Z从6名同学中随机选出2人参加活动的所有基本事件为：A，B，A，C，A，X，A，Y，A，Z，B，C，B，X，B，Y，B，Z， C，X，C，Y，C，Z，X，Y，X，Z，Y，Z，共15个 4分（）设“选出的2人都是女同学”为事件M， 则事件M包含的基本事件有X，Y，X，Z，Y，Z，共3个， 所以，事件M发生的概率 8分（）事件N包含的基本事件有A，Y，A，Z，B，X，B，Z，C，X，C，Y，共6个，
8、所以，事件N发生的概率 13分18. （本小题满分14分）（）证明：因为底面是正方形，所以又因为平面，平面，所以平面又因为四点共面，且平面平面，所以5分（）在正方形中，又因为平面平面，且平面平面， 所以平面又平面所以由（）可知，又因为,所以.由点是棱中点，所以点是棱中点在中，因为，所以又因为，所以平面11分（）不存在 14分19. （本小题满分13分）解：函数的定义域：.（）当时，. . 有，即切点（1,3），. 所以曲线在点处切线方程是，即.4分（）若，. . 令，得（舍），.极小值 则. 所以函数不存在零点. 8分（） . 当，即时，极小值 当，即时，极大值极小值当，即时，当，即时，极大值极小值 综上，当时，的单调增区间是;减区间是. 当时，的单调增区间是,;减区间是. 当时，的单调增区间是; 当时，的单调增区间是，; 减区间是. 13分20. （本小题满分14分）解：（）由题意可知，所以所以所以椭圆的离心率为 3分（）若切线的斜率不存在，则 在中令得不妨设，则所以 同理，当时，也有 若切线的斜率存在，设，依题意，即由，得显然设，,则，所以.所以 所以综上所述，总有成立 9分（）因为直线与圆相切，则圆半径即为的高. 当的斜率不存在时，由（）可知则. 当的斜率存在时，由（）可知， 所以 （当且仅当时，等号成立）所以此时, .综上所述，当且仅当时，面积的最大值为14分