1、天津市八校2021届高三数学上学期期中联考试题（含解析）一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合，然后再分别求出集合与的交集和并集，即可得到答案.【详解】因为，所以，因为，即，所以，；，故A正确，D错误；，故B、C错误.故选:A.【点睛】本题主要考查了集合的交集、并集运算，属于基础题.2. 已知向量,则充要条件是 （）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为向量,则，故其充要条件是选D3. 在中，是的中点.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】
2、B【解析】【分析】由于，从而得，而由是的中点，可得，进而可得结果【详解】解：因为，所以，因为是的中点，所以，所以，所以，故选：B4. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用对数函数和指数函数单调性与特殊值比较大小，再比较大小.【详解】，.故选：B.【点睛】本题考查利用利用对数函数和指数函数单调性比较大小，先判断正负，再看具体情况与特殊值比较，考查运算求解能力，是基础题.5. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 2，这个球的表面积为，则这个正四棱柱的体积为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】首先由球的表面积求出球的半径，再由棱柱的对
3、角线等于外接球的直径，即可解出棱柱的底面边长，从而可计算出棱柱的体积.【详解】解：由题可知，正四棱柱的高为 2，球的表面积为，设球的半径为，则，则，所以，球的直径为，设正四棱柱的底面边长为，则，解得：，正四棱柱的体积为.故选：B.【点睛】本题考查正四棱柱的性质和棱柱的体积，以及棱柱外接球的性质和外接球的表面积公式，属于基础题.6. 已知，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. 或B. 或C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式求的最小值为，由恒成立得到，解不等式得到的范围.【详解】因为，等号成立当且仅当，所以，解得：.【点睛】利用基本不等式求最值，注意“一正、二定、三等”三个条件，
4、要确保等号能取到.7. 设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由定义在R上的奇函数的性质，可得，求出，于是可得在时的解析式，由解析式结合增函数+增函数=增函数，可得函数在上单调递增，再由为定义在上的奇函数，可知在上单调递增，注意到，利用函数单调性即可解决【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，所以，当时，当时，函数和在上都是增函数，所以在上单调递增；由奇函数的性质可知，在上单调递增，因为，故，即有，解得故选:D【点睛】本题主要考查函数性质的应用，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，意在考查学生的基本的转化能力8. 将函
5、数的图像先向右平移个单位，再把所得函数图像横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由图象的变换求出的解析式，再由定义域求出的范围，再利用正弦函数的图象和性质，求得的取值范围.【详解】函数的图象先向右平移个单位长度，可得的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，周期，由，则，若函数在上没有零点，结合正弦函数的图象观察则 ，解得，又，解得，当时，解，当时，可得，.故选：C.【点睛】本题考查正弦型的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式求解，属
6、于较难题.9. 已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把函数交点有两个零点转化为函数图象与直线有两个交点，作出对应函数图象和直线，利用导数求出相应切线的斜率，由图象观察出的范围【详解】，所以函数的图象与直线有两个交点，作出函数的图象，如下图，由得，设直线与图象切点为，则，所以由得，与在原点相切时，由得，与在原点相切时，所以直线，与曲线相切，由直线与曲线的位置关系可得：当时有两个交点，即函数恰有两个零点.故选：C.【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题方法是把函数零点转化为方程的解的个数，再转化为函数图象与直线交点个
7、数，作出函数图象与直线通过数形结合思想求解二、填空题（本题6小题，每题5分，共30分，双空题答对一个空得3分）10. 设函数，则_.【答案】4【解析】【分析】根据分段函数定义域，代入可求得，根据的值再代入即可求得的值【详解】因所以所以故答案为:411. 设曲线在点处的切线方程为，则_.【答案】4【解析】【分析】先对函数求导，再由题意可知在处的导数值为3，从而可求得的值【详解】解：由，得，因为曲线在点处的切线方程为，所以，解得，故答案为：412. 底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为_.【答案】【解析】【分析】求出斜高，计算各面的面积，求和可得正四棱锥的表面积.【详解】如图所示，则，故正四棱锥
8、的表面积为.故答案为：【点睛】本题考查了求正四棱锥的表面积，属于基础题.13. 设的内角所对的边分别为若，则的形状为_.【答案】等腰三角形【解析】【分析】由，整理可得角的关系即可.【详解】由的内角知，所以，又所以，为等腰三角形.故答案为:等腰三角形.【点睛】此题考查两角和与差的正弦公式的正向和逆向使用，属于基础题.14. 已知均为正实数，且，则最小值为_，此时的值为_.【答案】 (1). 8 (2). 【解析】【分析】由，得，则，化简后利用基本不等式可求得其最小值【详解】解：因为均为正实数，且，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，故答案为：8；【点睛】关键点点睛：此题考查利用基
9、本不等式求最值，解题的关键是对两边平方，得，然后巧妙利用1的代换，考查计算能力，属于中档题15. 如图，在平面四边形中，.若点为上的动点，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，得出，利用向量的数量积公式即可得出，结合，得出的最小值.【详解】因为，所以以点为原点，为轴正方向，为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，所以，又因为，所以直线的斜率为，易得，因为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，令，解得，所以，设点坐标为，则，则，所以 又因为，所以当时，取得最小值为【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程三、解答题（本大题共5小题，共
10、75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 已知，其中，（1）求的单调递增区间；（2）在中，角，所对的边分别为，且向量与共线，求边长和的值【答案】（1）;（2）【解析】【分析】（1）化简得，整体代换结合余弦函数的单调性，即可得出结论；（2）由求出，与共线,结合余弦定理，建立关系，即可求解.【详解】（1）,在上单调递增,令,得,单调递增区间.（2），又,，即.,由余弦定理得.因为向量与共线,所以,由正弦定理得，.【点睛】本题主要考查了三角恒等变形，向量的数量积，正弦定理，余弦定理，考查了运算能力，属于中档题.17.设数列的前项和为，为等比数列，且，（1）求数列和的通项公式；（2）设，
11、求数列的前项和【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由已知利用递推公式，可得，代入分别可求数列的首项，公比，从而可求.（2）由（1）可得，利用乘“公比”错位相减法求和【详解】解：(1)当时，当时，满足上式，故的通项式为设的公比为，由已知条件知，所以，即(2)，两式相减得：【点睛】本题考查等差数列、等比数列的求法，错位相减法求数列通项，属于中档题.18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）
12、建立适当的空间直角坐标系，确定各点坐标，得到，根据线面垂直的判定定理，即可证明.（2）由（1）可知，平面的法向量，确定平面的法向量，根据，求解即可.（3）设，确定，根据直线与平面所成角的正弦值为，求解，即可.【详解】（1）因为平面，平面，平面所以，因为则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得，.所以，.因为，.所以，又，平面，平面.所以平面（2）设平面的法向量，由（1）可知，设平面的法向量因为，.所以，即不妨设，得所以二面角的余弦值为（3）设，即.所以，即.因为直线与平面所成角的正弦值为所以即解得即【点睛】本题考查空间向量在立体几何中的应用，考查综合分析求解与论证能力，属于较
13、难题.19. 已知数列的前项和为，设.（1）证明：是等比数列；（2）设，求的前项和，若对于任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据的关系，即可容易证明，注意分两种情况；（2）根据（1）中所求，用裂项求和法求得，再根据的单调性求得的最大值，则问题得解.【详解】（1）当时，当时，所以，即，即，又，是首项，公比为2的等比数列（2）由（1）知，即，所以 当为偶数时，是递减的，此时当时，取最大值，则.当为奇数时，是递增的，此时，则.综上，的取值范围是.【点睛】本题考查利用递推关系证明数列是等比数列，以及利用裂项求和法求数列的前项和，涉及求利用数列的单调性求最
14、值，属综合中档题.20. 已知函数，.（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）分离参数法，转化为.（2）由（1）得，当时，有，即.所以只需证明，即证，.构造函数可证右边构造函数可证试题解析：（1）由，得 .整理，得恒成立，即.令.则.函数在上单调递减，在上单调递增.函数的最小值为.，即.的取值范围是.（2）由（1），当时，有，即.要证，可证，即证，.构造函数.则.当时，.在上单调递增.在上成立，即，证得.当时，成立.构造函数.则 .当时，在上单调递减.，即.当时，成立.综上，当时，有.【点睛】解题时要学会用第一问己得到的结果或结论，如本题证明左边可由（1），当时，有，即.要证，只需证，即证，.同时证明不等式恒成立时，要适当的为不等式变形