1、课后导练基础达标1若a1,则a+的最小值是（ ）A.2 B.a C. D.3解析:a+=(a-1)+1+1=3,当且仅当a-1=,即a=21时取“=”.故选D.答案:D2若0x0且a2+2ab+2ac+4bc=12,则a+b+c的最小值是( )A. B.3 C.2 D.解析:a2+2ab+2ac+4bc=12,则a(a+2b)+2c(a+2b)=12(a+2c)(a+2b)=12()2=(a+b+c)2,a+b+c,故选A.答案:A5已知正数x,y满足x+4y=1,则+的最小值是（ ）A. B.9 C.3+ D.无最小值解析:+=(+)(x+4y)=5+5+=9,故选B.答案:B综合运用6如果
2、x,yR,且x+y=5,则3x+3y的最小值是_.解析:3x+3y.当且仅当3x=3y,即x=y=时取等号.答案:7若正数a,b满足a+b+3=ab,则ab的取值范围是_.解析:ab=a+b+3+3,即ab-30,(-3)(+1)0.0,-30.ab9,即ab的取值范围是9,+).答案:9,+)8已知a,bR+,则y=的最小值为_.解析:y=ymin=,此时a=b0.答案:9设x,y,z0,且xyz(x+y+z)=1,则(x+y)(y+z)的最小值是( )A.1 B.2 C.4 D.不存在解析:(x+y)(y+z)=xy+y2+xz+yz,而(x+y+z)y=,即xy+y2+yz=,因此xy+
3、y2+yz+xz=+xz2,即(x+y)(y+z)2.选B.答案:B拓展探究10如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a m和b m，问学生距墙壁多远时看黑板的视角最大?解析:设学生距黑板x m,则tan=,tan=,由此可得tan(-)=.因为x+,当且仅当x=时，tan(-)最大.又由于-为锐角，所以此时-也最大，亦即学生距墙壁为 m时看黑板的视角最大.备选习题11求函数y=x(3-2x)的最大值(0x1.5).解析:2y=2x(3-2x),由0x0,3-2x0,2y()2=.y.当且仅当2x=3-2x时，取等号，即x=时，函数y=x(3-2x)有最大值.1
4、2RtABC的周长为定值L，求ABC的面积的最大值.解析:设两直角边长为a,b，则L=a+b+.ab()2=.从而SABC=ab.13设a,b,x,y0,a+b=10,ab,=1,x+y的最小值为18,则a=_,b=_.解析:(x+y)()=(a+b)+a+b+=18,ab=16.又a+b=10,故a=2,b=8或a=8,b=2.又ab,a=8,b=2.答案:8 214x,yR+,且2x+5y=20,则lgx+lgy的最大值是_.解析:20=2x+5y,lgx+lgy=lgxylg10=1.答案:115若a,bR+,且a2+=1,则a的最大值是_.解析:当且仅当时,有最大值.答案:16某单位决
5、定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元.(1)仓库面积S的最大允许值是多少?(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?解析:用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长,再由题意翻译数量关系.(1)设铁栅长为x m,一堵砖墙长为y m,则有S=xy.由题意得40x+245y+20xy=3 200.(*)应用二元均值不等式,得3 200+20xy=+20xy=+20S,S+160,即(+16)(-10)0.+160,-100,从而S100.(2)因为S最大允许值是100 m2,取得此最大值的条件是40x=90y,而xy=100,由此求得x=15,即铁栅的长应是15 m.
