1、吉林省吉化第一高级中学校2020届高三数学下学期适应性测试试题 理（含解析）本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真梭对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线据）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、
2、修正带、刮纸刀.一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由集合B可得集合B的补集，然后与集合A取交集可得答案.【详解】由，可得，由可得故选：C【点睛】本题考查集合的交并补运算，属于简单题.2. 复数（是虚数单位）的虚部是（ ）A. B. C. 3D. 6【答案】C【解析】【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可【详解】解：复数2+3i复数（i是虚数单位）的虚部是3故选C【点睛】本题考查复数的除法的运算法则以及复数的基本概念，是基础题3. 已知，是两个命题
3、，那么“是真命题”是“是假命题”的A. 既不充分也不必要条件B. 充分必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件【答案】C【解析】【分析】由充分必要条件及命题的真假可得：“是真命题”是“是假命题”的充分不必要条件，得解.【详解】解：因为“是真命题”则命题，均为真命题，所以是假命题，由“是假命题”，可得为真命题，但不能推出“是真命题”，即“是真命题”是“是假命题”的充分不必要条件，故选：【点睛】本题考查了充分必要条件及命题的真假，属于基础题4. 某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了核校2016年和2019年的高考情况，得到如图
4、柱状图：则下列结论正确的是（ ）A. 与2016年相比，2019年一本达线人数减少B 与2016年相比，2019年二本达线人数增加了倍C. 2016年与2019年艺体达线人数相同D. 与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2016年该校参加高考的人数为，则2019年该校参加高考的人数为，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2016年该校参加高考的人数为，则2019年该校参加高考的人数为.对于选项A：2016年一本达线人数为，2019年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B：2016年二本达线
5、人数为，2019年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C：2016年和2019年艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D：2016年不上线人数为，2019年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选：D【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键5. 已知为角终边上一点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由可得，借助三角函数定义可得m值与.【详解】，解得又为角终边上一点，故选B【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和正切公
6、式，属于基础题6. 如图，阴影部分是由轴、轴、直线、曲线围成的，在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用定积分计算出阴影部分区域的面积，并计算出矩形的面积，利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】由题意可知，阴影部分区域的面积为，矩形的面积为，因此，所求概率为.故选：B【点睛】本题考查几何概型概率的计算，考查利用定积分计算曲边梯形的面积，考查计算能力，属于基础题.7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】由余弦定理和题设条件，列出方程
7、，求得，在结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】由余弦定理，可得，即，整理得，解得或（舍去），所以的面积为.故选：D.【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题8. 已知函数，则函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果【详解】由题意，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除D；又，所以排除B,C故选A【点睛】已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，
8、判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一9. 已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1平面ABCD，且底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图，设AB=a，则AA1=2a，三棱锥C-BDC1的高为h，CD与平面BDC1所成的角为.因为 即aah=a22a，解得h=a.所以sin=.点晴：本题考查的是直线与平面所成的角求直线与平面所成的角一般有两种处理方法：一是结合题目中的线面关系通过“作角，证角，求角”三步求解;二是一种代数方法
9、，通过求斜线段的顶点到底面的距离d,除以斜线段的长DC，即利用sin=，求线面角的正弦值10. 将偶函数的图像向右平移个单位，得到的图像，则的一个单调递减区间（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先化简函数解析式，然后结合平移变换的结论得到的解析式，最后确定其单调区间即可.【详解】由函数的解析式可得：，函数为偶函数，则时，即，令可得，故，图像向右平移个单位，可得，函数的单调递减区间满足：，解得：，当时，单调递减区间为，故选项B正确，其余选项无法找到整数k满足所给的区间.故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性，三角函数的平移方法，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的
10、转化能力和计算求解能力.11. 已知是双曲线的左、右焦点，若点关于渐近线的对称点也在双曲线上，则该双曲线的离心率为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的方程，先写出点的坐标，以及其中一条渐近线方程，再求出点坐标，代入双曲线方程，即可得出结果.【详解】因为双曲线方程为，所以其中一条渐近线方程为，又是双曲线右焦点，记；设点关于渐近线对称点为，则有，解得即，又点在双曲线上，所以，整理得，所以离心率为.故选D【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.12. 已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）A
11、. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则函数的图象与函数yx2+2的图象有交点，即方程x2+2（x，e）有解.【详解】解：函数y的图象与函数yx2+2的图象关于x轴对称，若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则函数的图象与函数yx2+2的图象有交点，即方程x2+2（x，e）有解，即ax2+28lnx（x，e）有解，令f（x）x2+2，则f（x），当x，2）时，f（x）0，当x（2，e时，f（x）0，故当x2时，f（x）取最小值，由f（），f（e），故当x时，f（x）取最大值，故a，故选D【点睛】本题考查的知
12、识点是函数的零点存在性及个数判断，利用导数研究函数的单调性与最值，难度中档二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 数列，若，则_.【答案】43【解析】【分析】将已知递推关系式变形为，然后利用累加法即可求得结果.【详解】由可得，上式相加得，又，可得故答案为：43【点睛】本题考查由递推关系式求数列中的某一项，考查累加法的应用，属于简单题.14. 已知平面向量共线，则=_.【答案】【解析】试题分析：考点：平面向量共线15. 已知，若，则_.【答案】3【解析】【分析】由题意利用函数的解析式和函数部分奇函数的特征可得的值.【详解】由题意可得：， 而.故答案为
13、：3.【点睛】本题主要考查函数值的求解，函数部分奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 九章算术是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著.是算经十书中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，现有一个羡除如图所示，已知上底面是高为2的等腰梯形，右侧面是高为1的等腰梯形，下底面是梯形，前、后侧面均为三角形.，且平面平面，则该“羡除”的表面积为_.【答案】【解析】【分析】分别取的中点，连接，由已知条件可得，从而求出，再在三个等腰梯形中分别求出的长，从而可求出的面积，再求出三个等腰梯形的面积即可得答案.【详解】解：分别取的中点，连接，则由
14、题意可知，分别是等腰梯形，的高，则 ，因为平面平面，所以，所以，因为四边形，均为等腰梯形，所以，所以，梯形的面积为梯形的面积为梯形的面积为所以该“羡除”的表面积为，故答案为：【点睛】此题考查了求几何体的表面积，面面垂直的性质，等腰梯形和等腰三角形面积的求法，属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17. 已知等比数列中，等差数列中，且（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）等比数列中，有两个参数知道两个条
15、件，可确定可求；（2）求数列的前项和，首项考虑数列的通项公式，然后根据通项公式的特点选择合适的求和方法，对等差数列而言，已知也知道两个条件，所以可求的通项公式，从而可求.试题解析：(1)当时，当时，不满足题意，所以，=.(2)由已知，,.考点：1、等比数列的通项公式；2、等差数列的前项和.18. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面底面，E为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连结，推导出四边形为平行四边形，由此能求出平面（2）取中点， 中点，连结，推导出，从而平面，平面，以点为坐标原点，为，轴，建立空间直角坐标系
16、，由此能求出二面的正弦值【详解】解：（1）证明：如图1，取中点F，连接，在中，E，F分别为，的中点， ，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面. （2）取中点O，中点Q，连接，为正三角形，四边形中，四边形为等腰梯形，O，Q分别为，的中点，平面平面，且平面平面，平面， 以点O为原点，以向量，的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图2， 设，在等腰梯形中，在等边三角形中， ，为中点，.设平面的法向量为，则，即，取，得，设平面的法向量为，则，即，取，得， 设二面角为，有，二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基
17、础知识，考查运算求解能力，属于中档题19. 全国文明城市，一块在国内含金量最高，综合性最强，影响力最大的“金字招牌”.为进一步提升城市整体竞争力，提升城市品质和管理水平，提升市民文明素质，提升人民群众幸福指数，2019年吉林市决定再次参加创建“全国文明卫生城”测评.为确保我市创建全国文明城市各项目标顺利完成，我市“创城办”不断加大宣传力度和管理力度等，在期间通过网络对江城市民进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加向卷调查的100人中，得分统计结果如下表所示：组别频数213212524114（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得
18、分的平均值，利用该正态分布求； （注：同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）在（1）的条件下，“创城办”为鼓励市民参与“创建”，对参加问卷调查的市民制定了如下奖励方案：得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（元）2050概率现有市民甲参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望.附：参考数据：； 若，则，.【答案】（1）；（2）答案见解析；.【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，求得，结合正态分布的性质，即可求解；（2）由题意，得到，得到获赠话费X的可能取值，求得相
19、应的概率，得到分布列，利用公式求得数学期望.【详解】（1）根据表格中的数据，可得：，所以. （2）由题意，可得，则获赠话费X的可能取值为，则X的分布列为：X20405070100P所以期望.【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，以及离散型随机变量的分布列及数学期望的计算，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.20. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，椭圆C短轴两顶点和两焦点构成的四边形为正方形，且周长为，经过与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于M，N两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C短轴上的点，满足，求实数t的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知条件和椭圆定义得正
20、方形周长为，可求得椭圆的，得出标准方程.（2）设直线l的方程为，设，与椭圆的方程联立可得点M、N坐标的关系，求出MN的中点的坐标，根据，可以得出，可求得实数t的取值范围.【详解】解：（1）设，由椭圆C的短轴顶点和焦点构成的四边形为正方形，得椭圆中，由椭圆定义得正方形周长为，即，得，在椭圆中，解得，椭圆C的标准方程为. （2）由（1）知，设直线l的方程为，设，联立，得，所以，设中点为G，得，由椭圆C短轴上的点，满足，可知，即，解得，又因，所以，所以.【点睛】本题考查椭圆的标准方程求得，直线与椭圆的位置关系之范围问题，关键在于将所需求和范围表示成某个变量的函数，属于较难题.21. 已知函数，.（1
21、）若当时，求的单调区间；（2）若恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；（2）.【解析】【分析】（1）求定义域，再对函数求导，讨论和在定义域内的解集即可解决；（2）求出，讨论时，符合题意；时，存在使得 ，不合题意；时，存在，使得时，时，所以有恒成立，即：，解得，所以，再求在上的值域得，综合即可求得.【详解】解：（1）由题意得；当时，时，时，； 的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）（i）当时，显然符合题意； （ii）当时，当时，；不符合题意； （iii）当时，对于，该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在，使得，即时，时， 恒成立， ，即：，令，则，在上单调递减
22、； 综上所述，实数a的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与恒成立问题，考查数学运算能力与转化思维.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的直角坐标方程为.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为，.（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）设A，B分别为射线l与曲线C1，C2除原点之外的交点，求的最大值【答案】（1）C1：；C2：；（2）2【解析】【分析】（1）结合参数方程、直角坐标方程和极坐标方程
23、间的关系，求出曲线C1，C2的极坐标方程即可；（2）将射线l的极坐标方程分别与曲线C1，C2的极坐标方程联立，可求得A，B的极坐标，进而可求得的表达式，求最大值即可.【详解】（1）由曲线C1的参数方程(t为参数)，消去参数t得，即，所以曲线C1的极坐标方程为.由曲线C2的直角坐标方程，得，所以曲线C2的极坐标方程为.（2）联立，得，所以，联立，得，所以，所以，因为，所以当时，有最大值，最大值为2.【点睛】本题考查极坐标方程、直角坐标方程和参数方程间的转化，利用极坐标求线段长度是解决本题的关键，考查学生的推理论断能力与计算求解能力，属于基础题.23. 已知函数和的图象关于原点对称，且（1）解关于的不等式；（2）如果对，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用零点分段法解含绝对值不等式即可；（2）对，不等式恒成立，即，求的最小值即可.【详解】（1）由题意可得，所以.时，解得，所以；时，解得，所以；综上：.（2）因为，即.令，所以.即.【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题，考查转化能力与计算能力，属于中档题.