1、课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一)【例1】 解下列不等式:(1)1|x+2|8.解析：(1)法一:原不等式故原不等式的解集为x|-1x3或-7x-3.法二:原不等式,-1x3或-7x-3.原不等式的解集为x|-1x3或-7x或x.原不等式的解集为x|x.法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-80,构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=作出函数的图象如图.从图象可知当x或x0,故原不等式的解集为x|x或x.温馨提示 在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法.各个击破类题演练1解下列不等式:(1)|
2、1;(2)|x+3|-|2x-1|+1.解析:(1)原不等式-1x1或x-4或x4.故原不等式的解集为x|-1x1或x-4或x4.(2)由x+3=0,得x1=-3,由2x-1=0,得x2=.当x+1,解得x10,而x-3,故此时无解;当-3x+1,解得x,这时不等式的解为x+1,即x2,这时不等式的解为x2.综合上述,原不等式的解集为x|x2.变式提升1(1)解不等式|x2-5x+5|1.解析:不等式可化为-1x2-5x+51,即解之,得1x2或3x4.所以原不等式的解集为x|1x2或3x4.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|a有解的a的取值范围.解法一:将数轴分为(-,3),3,4,(4
3、,+)三个区间.当x3时,得(4-x)+(3-x)有解条件为1;当3x4,得(4-x)+(x-3)1;当x4时,得(x-4)+(x-3)a,则x4.a1.以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a1.解法二:设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|1时,|x-4|+|x-3|1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】 解不等式|x2-9|x+3.解析：方法一:原不等式由得x=-3或3x4,由得2x3x.解析:当x9x2,即5x2+4x-10,解之,得-1x,0x.由知原不等式的解集为x|xx2-3|x|+2
4、.解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x2-3x+2|和y=x2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为x|x0或1x0,故原不等式等价于x-10,x1,显然x+10.原不等式的解集为x|x1或x=-1.三、绝对值不等式的证明【例3】 设f(x)=ax2+bx+c,当|x|1时,总有|f(x)|1,求证:当|x|2时,|f(x)|7.证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在-2,2上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或|f()|,故只要证明|f(2)|7,|f(-2)|7;当|2时,有|f()|7.由题意有|f(0)|1,|f(-1)|
5、1,|f(1)|1.由|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|3+1+3=7,|f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|1+3+3=7.|b|=|f(1)-f(-1)|(|f(1)|+|f(-1)|)(1+1)=1,当|2时,|f()|=|=|c|=|c|c|+|1+2=27.因此当|x|2时,|f(x)|7.类题演练3已知f(x)=x2+ax+b(x、a、bR,a、b是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于
6、.证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于,即有|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|.于是|f(1)+f(3)-2f(2)|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|0,则f(x)max=f(1)=a+b,f(x)min=f(-1)=-a+b.若a=0,则f(x)=b且b2=1,|f(x)|.若a0,则f(x)max=f(-1)=-a+b,f(x)min=f(1)=a+b.综上,知不等式成立.证法二:|f(x)|2-()2=(ax+b)2-2(a2+b2)=a2x2+b2+2abx-2(a2+b2)a2+b2+2abx-2(a2+b2)=2abx-a2-b22abx-a2x2-b2=-(ax-b)20,|f(x)|.
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