1、3.三个正数的算术几何平均不等式知识梳理 1.三个正数的算术几何平均不等式.如果a,b,cR+,那么_,当且仅当_时，等号成立.2.n个正数a1,a2,an的算术几何平均不等式.对于n个正数a1,a2,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均，即_.当且仅当_时，等号成立.知识导学 三个及三个以上正数的算术几何平均不等式的应用条件与前面基本不等式的使用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”. n个正数a1,a2,an的算术平均是,几何平均是,在应用时，最容易被误写为及,这是受两个正数的均值定理的影响造成的. 应用三个正数的算术平均几何平均不等式时还可能用到下面的重要不等式链：.疑难突破 1.三
2、个正数或三个以上正数的均值定理的应用条件 “一正”：不论是三个数的或者n个数的均值不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的.如a+b+c.取a=b=-2,c=2时，a+b+c=-2.而=6.显然-26不成立.“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n个正数的和为定值（即a1+a2+an为定值），求其积a1a2an的最大值；二是已知乘积a1a2an为定值，求其和a1+a2+an的最小值. “三相等”：取“=”号的条件是a1=a2=a3=an,不能只是其中一部分相等.重要不等式a2+b22ab与a3+b3+c33abc的运用条件不一样，前者a,bR,后面a,b,cR+.要注意区别. 2.使用基本不等式中的变形与拼凑方法 为了使用均值定理求最值（或范围）等，往往需要对数学代数式变形或拼凑数学结构，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如y=,其中把x2拆作两个数，这样可满足不等式成立的条件，若这样变形：y=+x2=+x2,虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无法实现了，这是因为：取“=”号的条件是+=x2,显然x无解.
