1、 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】试题分析：由已知可得，故考点：集合的运算（2）抛物线的焦点到准线的距离为（ ）（A） （B） 1 （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：由已知，故抛物线的焦点到准线的距离为考点：抛物线的性质（3）已知函数是奇函数，且当时，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】试题分析：因函数是奇函数
2、，故考点：函数的性质（4）某单位计划在下月1日至7日举办人才交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，那么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】试题分析：设1日至3日期间连续两天参加交流会为事件A，由已知基本事件总数为种，事件A所包含的基本事件数有种，故他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为考点：古典概型（5）执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）（A）（B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：第一次：；第二次: ；第三次:，结束循环，输出考点：程序框图（6）“”是“角是第一象限的角”的（ ） （A）充分而不必要条
3、件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：，故“”是“角是第一象限的角”的必要而不充分条件考点：充分条件、必要条件（7）若满足则下列不等式恒成立的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】试题分析：作出不等式所表示的平面区域，显然选项A，B错；由线性规划易得的取值范围为，故不成立；在B处取得最小，故考点：线性规划（8）某三棱锥的正视图如图所示，则在下列图中，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是（ ） （A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】 试题分析：第一个图是选项的模型；第二个图是选项的模型；第三个图是选项的模型.考点：三视
4、图二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知单位向量与向量的夹角为，则_. 【答案】1考点：向量的数量积、向量的模（10）若复数，且,则实数=_ 【答案】0【解析】试题分析：，因，故考点：复数的运算（11）已知为等差数列，为其前项和.若，则公差_；的最小值为 . 【答案】12；-54【解析】试题分析：由得，因，故；，当时，当时， ，故的最小值为考点：等差数列的性质（12）对于，以点为中点的弦所在的直线方程是_ 【答案】【解析】试题分析：，圆心为（1,0），故所求直线的斜率为，直线方程为即考点：直线方程（13）设对任意实数，关于的方程总有实数根，则的取值范围是 . 【答案】考点：函数与
5、方程（14）设全集，用的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.若，则表示的6位字符串为 ； 若, 集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数是 . 【答案】100110；4【解析】试题分析：由题意表示的6位字符串为011001，故表示的6位字符串为100110；若, 集合表示的字符串为101001，则集合B中必含有4，且至多含有1,3，故满足的集合B有，考点：新定义集合问题三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（15）（本小题满分13分
6、）已知数列的前项和为, ，且是与的等差中项.（）求的通项公式；（）若数列的前项和为,且对,恒成立,求实数的最小值.【答案】（1），（2） 考点：数列及其恒成立.(16) （本小题满分13分）某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图： 分组（日销售量）频率（甲种酸奶）0.10（10，200.20（20，300.30（30，400.25（40，500.15（）写出频率分布直方图中的的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图； （）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，试比较与的大小；（只需写出
7、结论）（）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计乙种酸奶在未来一个月（按30天计算）的销售总量.【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（）由各小矩形面积和为1可得到，（）由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在2030箱，故 ；（）乙种酸奶平均日销售量为：（箱），乙种酸奶未来一个月的销售总量为：（箱）试题解析：（）； 2分 6分 （）. 9分 （）乙种酸奶平均日销售量为：（箱）. 11分乙种酸奶未来一个月的销售总量为：（箱）. 13分考点：概率与统计（17）（本小题满分13分）在中，.（）若，求的大小；（）若,求的面积的最大值. 【答案】（1），（
8、2）【解析】试题分析：（）因为 由正弦定理可得，再利用余弦定理得所以 即，所以 为等边三角形.所以 （注：当然也可用化角来处理）；（）由已知可得 .所以 ，又 .所以 试题解析：（）方法一：因为 且，所以 . 2分又因为 ， 4分所以 .所以 .所以 . 6分因为 ，所以 为等边三角形.所以 . 7分（）因为 ，且，所以 . 所以 9分（当且仅当时，等号成立）. 11分因为 ，所以 .所以 .所以 .所以 当是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值.13分考点：三角函数的性质与解三角形（18）（本小题满分14分）如图1，在梯形中，四边形是矩形. 将矩形沿折起到四边形的位置，使平面平面，为的中
9、点，如图2.（）求证：；（）求证：/平面； （）判断直线与的位置关系,并说明理由图1图2 【答案】（）（）（）见解析.【解析】试题分析：（）要证明线线垂直，一般通过线面垂直来证明，本题中因为 四边形为正方形，所以 .因为 平面平面，平面平面，平面，所以 平面；（）因为 四边形为矩形，所以 ，又 ，所以 平面平面.所以 平面；（）可以证得四边形是以，为底边的梯形，故直线与相交.试题解析：（）因为 四边形为矩形， 所以. 因为 平面平面，且平面平面，平面， 所以 平面. 3分 因为 平面， 所以 . 5分所以 ，. 12分因为 四边形为梯形， 为的中点，所以 ，.所以 四边形为平行四边形.所以 ，
10、且.所以且.所以 是平行四边形.所以 ，即.因为 ，所以 四边形是以，为底边的梯形.所以 直线与相交. 14分考点：空间立体几何（19）（本小题满分13分）已知椭圆过点，且离心率.（）求椭圆的方程； （）若椭圆上存在点关于直线对称,求的所有取值构成的集合，并证明对于，的中点恒在一条定直线上.【答案】（）；（）见解析.【解析】试题分析：（）因为 椭圆过点，所以 . 因为 ， 所以 .所以椭圆的方程为；（）依题意得.因为 椭圆上存在点关于直线对称，所以 直线与直线垂直，且线段的中点在直线上.设直线的方程为.由得 ，由得，的中点坐标为所以 ，所以 代入得或，所以或因为 ，所以 对于，线段中点的纵坐标
11、恒为，即线段的中点总在直线上.试题解析：（）因为 椭圆过点，所以 . 1分因为 ， 所以 . 所以 椭圆的方程为 3分（）方法一：依题意得.因为 椭圆上存在点关于直线对称，所以 直线与直线垂直，且线段的中点在直线上.设直线的方程为.由得 . 5分由，得.（*） 因为 ， 7分所以 的中点坐标为. 又线段的中点在直线上，所以 .所以 . 9分代入（*），得或.所以 或. 11分因为 ，所以 对于，线段中点的纵坐标恒为，即线段的中点总在直线上. 13分方法二：因为 点在直线上，且关于直线对称，所以 ，且.设（），的中点为.则. 6分又在椭圆上，所以 .所以 .化简，得 .所以 . 9分又因为 的中
12、点在直线上，所以 .所以 .由可得.所以 ，或，即，或.所以 或. 12分所以 对于，线段中点的纵坐标恒为，即线段的中点总在直线上. 13分考点：与圆锥曲线有关的定点定值问题（20）（本小题满分14分）已知函数. （）求函数的单调区间；（）若存在两条直线，都是曲线的切线，求实数的取值范围；（）若，求实数的取值范围.【答案】（）见解析；（）；. （）【解析】试题分析：（），对a进行分类讨论：当时，则函数的单调递减区间是.当时，令，得. 的单调递减区间是，单调递增区间是；（）因为 存在两条直线，都是曲线的切线，所以 至少有两个不等的正实根，令得，记其两个实根分别为.则 解得.再说明当时，曲线在点处
13、的切线分别为，是两条不同的直线即可；（）只需分类讨论.试题解析：（）. 1分 当时，则函数的单调递减区间是. 2分当时，令，得. 当变化时，的变化情况如下：极小值所以 的单调递减区间是，单调递增区间是. 4分（）因为 存在两条直线，都是曲线的切线，所以 至少有两个不等的正实根. 5分令得，记其两个实根分别为.则 解得. 7分当时，曲线在点处的切线分别为，.令.由得（不妨设），且当时，即在上是单调函数.所以 .所以 ，是曲线的两条不同的切线.所以 实数的取值范围为. 9分（）当时，函数是内的减函数.因为 ，而，不符合题意. 11分当时，由（）知：的最小值是.（）若，即时，所以，符合题意.（）若，即时，.所以，符合题意.（）若，即时，有.因为 ，函数在内是增函数，所以 当时，.又因为 函数的定义域为，所以 .所以 符合题意.综上所述，实数的取值范围为. 14分考点：导数与函数的综合