1、课后导练基础达标1.下列可以作为直线2x-y+1=0的参数方程的是( )A.(t为参数) B.(t为参数)C.(t为参数) D.(t为参数)解析一:根据所给的方程可知直线的斜率为2,而所给直线的参数方程中,A选项的斜率是1,B选项的斜率是-2,C选项的斜率是2,D选项的斜率是.所以只有C符合条件,这里C虽然不是标准式的参数方程,但是只有C能化成2x-y+1=0.解析二:化各参数方程为普通方程,再去比较.答案:C2.已知参数方程(a、b、均不为零,02).当(1)t是参数;(2)是参数;(3)是参数,则下列结论中成立的是( )A.(1)(2)(3)均为直线B.只有(2)是直线C.(1)(2)是直
2、线,(3)是圆D.(2)是直线,(1)(3)是圆锥曲线解析:若t是参数,a、b、为常数,消去t得一个关于x、y的二元一次方程,故t是参数时,参数方程表示直线;若是参数,a、b、t、是常数,消后方程化为关于x、y的二元一次方程,故是参数时,参数方程仍表示直线;若是参数,a、b、t、是常数,消后方程化为(x-at)2+(y-bt)2=2,参数方程表示圆.答案:C3.两条曲线的参数方程分别是(为参数),(t为参数),则其交点个数为( )A.0 B.1 C.0或1 D.2解析:两个参数方程分别表示线段x-y+2=0(-1x0,1y2)和椭圆=1,所以两曲线只有一个交点.答案:B4.若(为参数)与(t为
3、参数)表示同一条直线,则与t的关系是( )A.=5t B.=-5t C.t=5 D.t=-5解析:依题意,由x-x0,得-3=tcos,由y-y0,得4=tsin,消去的三角函数,得252=t2,得t=5,借助于直线的斜率可排除D.答案:C5.直线(t为参数)被圆x2+(y-1)2=9所截得的线段长等于( )A.3 B.6 C.9 D.与的值无关解析:把x=tcos,y=1+tsin代入圆的方程,得t2cos2+t2sin2=9,得t2=9,得t1=3,t2=-3,线段长为|t1-t2|=6.答案:B6.按照规律(t是参数)运动后,质点从时间t1到t2经过的距离是_.解析:时间t1对应的点A的
4、坐标是(a+t1cos,b+t1sin),时间t2对应的点B的坐标是(a+t2cos,b+t2sin),利用两点距离公式可以求得质点从时间t1到t2经过的距离|AB|=|t1-t2|.答案:|t1-t2|7.直线l经过点M0(1，5)，倾斜角为，且交直线x-y-2=0于M点，则|MM0|=_.解析:直线l的参数方程为(t为参数),代入方程x-y-2=0中,得1+t-(5+t)-2=0t=6(-1).根据t的几何意义,即得|MM0|=6(-1).答案:6(-1)8.已知直线l的参数方程是(t为参数)，其中实数的范围是(0,)，则直线l的倾斜角是_.解析:首先要根据的范围把直线的参数方程化为标准参
5、数方程,根据标准式结合的范围得出直线的倾斜角.答案:-9.过点A(1,1)作直线,被椭圆=1所截得的弦被此点平分,则此直线方程为_.解析:设直线为(t为参数),代入椭圆方程并整理得(4cos2+9sin2)t2+(8cos+18sin)t-23=0.t1+t2=0,8cos+18sin=0.tan=.直线方程为4x+9y-13=0.答案:4x+9y-13=010.下表是一条直线上的点和对应参数的统计值:参数t26横坐标x2-12-0纵坐标y5+65+7根据数据可知直线的参数方程是_，转化为普通方程是(一般式) _，直线被圆(x-2)2+(y-5)2=8截得的弦长为_.解析:这是一个由统计,直线
6、参数方程和普通方程,圆的知识组成的综合问题.充分考查了这几部分知识的灵活运用.首先,根据统计的基本知识,观察分析所给数据的特点给出直线的参数方程(t为参数),然后把参数方程转化为普通方程x+y-7=0. 而由参数方程可知直线一定过点(2,5),恰好是所给圆的圆心,所以直线被圆所截的弦长恰好是圆的直径,易知直径长为.答案: (t为参数) x+y-7=0 综合运用11.给出两条直线l1和l2，斜率存在且不为0，如果满足斜率互为相反数，且在y轴上的截距相等，那么直线l1和l2叫做“孪生直线”.(1)现在给出4条直线的参数方程如下:l1:(t为参数);l2: (t为参数);l3:(t为参数);l4:(
7、t为参数).其中构成“孪生直线”的是_.(2)给出由参数方程表示的直线l1:(t为参数),直线l2: (t为参数),那么，根据定义，直线l1,直线l2构成“孪生直线”的条件是_.解析:根据条件,两条直线构成“孪生直线”意味着它的斜率存在不为0,互为相反数,且在y轴的截距相等,也就是在y轴上交于同一点.对于题(1),首先可以判断出其斜率分别为-1,1,-1,1,斜率互为相反数条件很明显,再判断在y轴上的截距. 令x=0得出相应的t值,代入y可得只有直线l1和直线l4在y轴上的截距相等,而其斜率又恰好相反,可以构成“孪生直线”. 对于题(2)首先写出相应斜率分别是tan1和tan2, 因此要tan
8、1=-tan2,即tan1+tan2=0； 然后再考虑在y轴上的截距,首先在l1的参数方程中,令x=x1+tcos1=0, 可得t=代入得y=y1-x1tan1. 同理,可得直线l2在y轴上的截距是y=y2-x2tan2. 由定义中的条件“截距相等”可得y1-x1tan1=y2-x2tan2, 即y1-y2=x1tan1-x2tan2. 如果把tan1=-tan2代入式子还可以进一步得到y1-y2=x1tan1+x2tan1,即y1-y2=(x1+x2)tan1.答案:（1）直线l1和直线l4（2）tan1+tan2=0且y1-y2=x1tan1+x2tan2也可以写成y1-y2=(x1+x2
9、)tan112.过原点作直线l,交直线2x-y-1=0于A,交2x+y+3=0于B,若原点为线段AB的中点,求l的方程.解:设l的倾斜角为,则l的参数方程为(t为参数).将方程分别代入两直线方程中,2tcos-tsin=1,得t1=;2tcos+tsin+3=0,得t2=.O(0,0)为AB中点,t1+t2=0.=04cos=4sin.k=tan=1,所求l的方程为y=x.13.直线l经过点(0,)斜率为2,交椭圆=1于A,B两点,求AB中点到点(0,)的距离.解:由k=2=tan,sin=,cos=.直线l的参数方程为(t为参数).代入椭圆方程9(t)2+4(5+t)2-36=05t2+16
10、t-16=0.所求距离d=|t1+t2|=|=.拓展探究14.已知直线l过点P(-1,1),倾斜角为,与抛物线y2=-8x交于A,B两点.(1)求|PA|PB|的最小值及此时l的方程;(2)若P(-1,1)平分线段AB,求l的方程.解:设直线l的参数方程为(t为参数),代入抛物线方程并整理得t2sin2+2tsin+8tcos-7=0.=(2sin+8cos)2+28sin2=48+8sin(2+)0,它的两根t1,t2为A、B对应的参数值.(1)|PA|PB|=|t1|t2|=|t1t2|=.(k,否则直线与抛物线只有一个交点)当sin=1时,|PA|PB|有最小值7,此时直线方程为x=-1.(2)若P为中点,则t1+t2=0,=0.k=tan=-4.直线l的方程为4x+y+3=0.
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