1、江苏省苏州市八校20202021学年高三上学期期末联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1复数z满足z(1i)1i，则z的虚部等于Ai B1 C0 D12设集合A，B，则集合ABA(0，1 B(0，1) C(0，4) D(0，43我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是 A B C D42
2、020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或海外负责人某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有A36种 B48种 C72种 D144种5若函数满足：对定义域内任意的，()，有，则称函数具有H性质则下列函数中不具有H性质的是 A BC D6我国古
3、代数学名著九章算术中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第( )天A3天 B4天 C5天 D6天7在平面直角坐标系xOy中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O）于A、B两点若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且cos()0，则ab的最大值为A1 B? C2 D不存在8如图，已知F1，F2分别为双曲线C：(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，连接AF2，BF2，在ABF
4、2中，sin，则双曲线C的离心率为A3 B C D2 第3题 第8题二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9已知向量(1，2)，(1，m)，则A若与垂直，则m1 B若，则的值为5C若m1，则13? D若m2，则与的夹角为6010设a0，b0，a2b1，则Aab的最大值为 B的最小值为C的最小值为8 D的最小值为11设首项为1的数列的前n项和为，且，则下列结论正确的是A数列为等比数列 B数列为等比数列C数列为等比数列 D数列的前n项和为12已知函数，xR，则A在(0，)上单调递增B周期函数，且周
5、期为2C直线x是的对称轴D函数在(，)上有且仅有一个零点三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13已知点A(3，0)，B(0，4)，点P在圆上运动，则点P到直线AB的距离的最小值为 14定义在实数集R上的可导函数满足：，其中是的导数，写出满足上述条件的一个函数 15某班有40名学生，一次考试后数学成绩N(110，)，若P(100110)0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为 16A，B，C，D为球面上四点，M，N分别是AB，CD的中点，以MN为直径的球称为AB，CD的“伴随球”，若三棱锥ABCD的四个顶点在表面积为64的球面上，它的两
6、条边AB，CD的长度分别为和，则AB，CD的伴随球的体积的取值范围是 四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(bcsinA)sinCc(1cosAcosC)（1）求B的值；（2）在SABC，A，a2c这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题若b3， ，求ABC的周长18（本小题满分12分）已知正项等比数列的前n项和为，且满足，（1）求数列的通项公式及；（2）设，记为数列的前n项和，若，求n19（本小题满分12分）如图，在四棱锥SABCD中，侧面
7、SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，底面为直角梯形，且ABC90，ABADBC，CDSD，点M是SA的中点（1）求证：BD平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60，求SD与平面MBD所成角的正弦值20（本小题满分12分）自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，在以习近平总书记为核心的党中央的正确领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越来越严重，医用口罩等物资存在很大缺口某口罩生产厂家复工复产后，抢时生产口罩，以驰援国际社会，已知该企业前10天生产的口罩量如表所示：第x天12345678910产量y(单位：万个)76.088.096.010
8、4.0111.0117.0124.0130.0135.0140.0对上表的数据作初步处理，得到一些统计量的值：（1）求表中m，n的值，并根据最小二乘法求出y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.1）；（2）某同学认为更适宜作为y关于x的回归方程模型，并以此模型求得回归方程为经调查，该企业第11天的产量为145.3万个，与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？并说明理由附：，21（本小题满分12分）椭圆C：(ab0)过点M(2，3)，其上，下顶点分别为点A，B，且直线AM，MB的斜率之积为kAMkBM（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点Q(a，0)作两条直线，分别
9、交椭圆C于另一点S，T若kQSkQT2，求证：直线ST过定点22（本小题满分12分）已知函数（1）若函数的图象在x1处的切线为y1，求的极值；（2）若恒成立，求实数a的取值范围江苏省苏州市八校20202021学年高三上学期期末联考数学试题 答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1复数z满足z(1i)1i，则z的虚部等于Ai B1 C0 D1答案：B解析：，所以z的虚部为12设集合A，B，则集合ABA(0，1 B(0，1) C(0，4) D(0，4答案：A解析：集合A，B(4，1， 所以AB(
10、0，13我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是 A B C D答案：B解析：首先该函数是偶函数，排除A，其次该函数x1，排除D，最后该函数过点(0，1)，排除C，综上选B42020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或海外负责人某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2
11、名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有A36种 B48种 C72种 D144种答案：C解析：5若函数满足：对定义域内任意的，()，有，则称函数具有H性质则下列函数中不具有H性质的是 A BC D答案：B解析：本题涉及函数的凹凸性，显然选B6我国古代数学名著九章算术中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是
12、前一天的一半如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第( )天A3天 B4天 C5天 D6天答案：B解析：，解得：，故正整数n的最小值为4，选B7在平面直角坐标系xOy中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O）于A、B两点若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且cos()0，则ab的最大值为A1 B? C2 D不存在答案：B解析：cos()0，所以coscossinsin0，故，化简得，所以选B8如图，已知F1，F2分别为双曲线C：(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，连接AF2，BF2，在ABF2中，sin，则双曲线C的离心率为
13、A3 B C D2 答案：D解析：由题意知，AF12a，AF24a，F1F22c，cosA，由余弦定理得： ，化简得，故e2选D二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9已知向量(1，2)，(1，m)，则A若与垂直，则m1 B若，则的值为5C若m1，则13? D若m2，则与的夹角为60答案：BC解析：若与垂直，则m，A错误； 若，则(1，2)(1，2)5，B正确； 若m1，(1，2)(1，1)(2，3)，所以13，C正确； 若m2，cos，D错误 综上，选BC10设a0，b0，a2b1，则Aab
14、的最大值为 B的最小值为C的最小值为8 D的最小值为答案：ABD解析：，经检验能取“”，A正确；，经检验能取“”，B正确；，经检验能取“”，C错误；，经检验能取“”，D正确 综上，选ABD11设首项为1的数列的前n项和为，且，则下列结论正确的是A数列为等比数列 B数列为等比数列C数列为等比数列 D数列的前n项和为答案：BD解析：，B正确； ，当n2时，故，故A与C都错；的前n项和为，故数列的前n项和为，D正确 综上，选BD12已知函数，xR，则A在(0，)上单调递增B周期函数，且周期为2C直线x是的对称轴D函数在(，)上有且仅有一个零点答案：BCD解析：(kZ)，作出函数图象如下图所示： 由上
15、图可知，在(0，)上单调递减，A错误； 周期函数，且周期为2，B正确； 直线x是的对称轴，C正确；函数图象与直线在(，)上有且仅有一个交点，D正确 综上，选BCD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13已知点A(3，0)，B(0，4)，点P在圆上运动，则点P到直线AB的距离的最小值为 答案：解析：直线AB为：，最小距离14定义在实数集R上的可导函数满足：，其中是的导数，写出满足上述条件的一个函数 答案：解析：答案不唯一，比如15某班有40名学生，一次考试后数学成绩N(110，)，若P(100110)0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人
16、数为 答案：6解析：16A，B，C，D为球面上四点，M，N分别是AB，CD的中点，以MN为直径的球称为AB，CD的“伴随球”，若三棱锥ABCD的四个顶点在表面积为64的球面上，它的两条边AB，CD的长度分别为和，则AB，CD的伴随球的体积的取值范围是 答案：，解析：设球心为O，则求得OM3，ON2，OMONMNOMON，故1MN5，所以V，即V，四、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(bcsinA)sinCc(1cosAcosC)（1）求B的值；（2）在
17、SABC，A，a2c这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题若b3， ，求ABC的周长解：（1）因为， 可得，即， 因为 所以，即， 因为， 所以，可得， （2）若选择条件，因为，所以， 由余弦定理可得，所以，可得， 又，解得，因此ABC的周长为； 若选择条件，在ABC中，由正弦定理可得 所以 所以ABC的周长为； 若选择条件，由余弦定理可得， 所以，即，解得 因此ABC的周长为18（本小题满分12分）已知正项等比数列的前n项和为，且满足，（1）求数列的通项公式及；（2）设，记为数列的前n项和，若，求n解：（1）设正项等比数列的公比为q，满足， 所以，解得或1（负值舍去）， 所以，则
18、， （2）设，所以， 故，令， 所以，解得19（本小题满分12分）如图，在四棱锥SABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，底面为直角梯形，且ABC90，ABADBC，CDSD，点M是SA的中点（1）求证：BD平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60，求SD与平面MBD所成角的正弦值解：（1）证明：取BC的中点E，连接DE， 设ABa，则ADa，BC2a，BEBCa， ABC90，ADBE，ADBE， 四边形ABED是正方形，BDa，DEBC，DECEa， ，故BDCD， 平面SCD平面ABCD，平面SCD平面ABCDCD，BD平面ABCD， BDCD，BD平面S
19、CD； （2）过S作SNCD，交CD延长线于N， 平面SCD平面ABCD，平面SCD平面ABCDCD，SN平面SCD， SNCD，SN平面ABCD， SDN为直线SD与底面ABCD所成的角，故SDN60， SDCD，DN，SN， 以D为原点，以DB，DC，及平面ABCD的过点D的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示， 则 M是SA的中点， 设平面MBD的法向量为，则， 即，令z2可得， ， SD与平面MBD所成角的正弦值为20（本小题满分12分）自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，在以习近平总书记为核心的党中央的正确领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，
20、但是国际疫情越来越严重，医用口罩等物资存在很大缺口某口罩生产厂家复工复产后，抢时生产口罩，以驰援国际社会，已知该企业前10天生产的口罩量如表所示：第x天12345678910产量y(单位：万个)76.088.096.0104.0111.0117.0124.0130.0135.0140.0对上表的数据作初步处理，得到一些统计量的值：（1）求表中m，n的值，并根据最小二乘法求出y关于x的线性回归方程（回归方程系数精确到0.1）；（2）某同学认为更适宜作为y关于x的回归方程模型，并以此模型求得回归方程为经调查，该企业第11天的产量为145.3万个，与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果
21、更好？并说明理由附：，解：（1）样本平均数， 由最小二乘法公式求得， 即所求回归方程为：， （2）由（1）可知，用线性回归方程模型求得该企业第11天的产量为 用题中的二次函数模型求得回归方程为，经检查，该企业第11天的产量为145.3万个， 与第11天的实际数据进行比较发现； 所以用这个二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好21（本小题满分12分）椭圆C：(ab0)过点M(2，3)，其上，下顶点分别为点A，B，且直线AM，MB的斜率之积为kAMkBM（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点Q(a，0)作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T若kQSkQT2，求证：直线ST过定点解：（1）由题
22、意可得：， 所以，可得：， 将M点的坐标代入可得：，解得， 所以椭圆的方程为：； （2）证明：由（1）可得Q(4，0)， 设，直线ST的方程为：， 联立直线与椭圆的方程，整理可得：， 可得：，即， 整理可得， 即 化简可得：， 即， 当，直线ST的方程为：， 恒过左顶点，不符合题意， 当，直线ST的方程为：， 所以可证得直线恒过定点(4，3) 22（本小题满分12分）已知函数（1）若函数的图象在x1处的切线为y1，求的极值；（2）若恒成立，求实数a的取值范围解：（1） 此时函数， 函数的图像在x1处的切线为y1，成立， 所以，此时在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减， 所以的极大值为，不存在极小值； （2）由， 化简可得， 令，则 令，则， 所以在(0，)上单调递增， 又， 存在唯一的，使得， 故在上单调递减，在上单调递增， 由，得， ，所以， 即实数a的取值范围是