1、课堂导学三点剖析一、圆的摆线的参数方程【例1】 平面直角坐标系中,若圆的摆线过点(1,0),求这条摆线的参数方程.思路分析：根据圆的摆线的参数方程的表达式(为参数),可知只需求出其中的r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式.解:令r(1-cos)=0,可得cos=1，所以=2k(kZ),代入可得x=r(2k-sin2k)=1.所以r=.又根据实际情况可知r是圆的半径，故r0.所以，应有k0且kZ，即kN*.所以，所求摆线的参数方程是(为参数)(其中kN*).温馨提示 本题易错点是误把点(1，0)中的1或0当成的值，代入参
2、数方程中求出x和y的值，再计算r的值；或者在求出cos=1后，直接得出=0，从而导致答案不全面.各个击破类题演练 1求摆线(0t2)与直线y=2的交点的直角坐标.解:y=2时,2=2(1-cost),cost=0.0t2,t=或.x1=2(-sin)=-2,x2=2(-sin)=3+2.交点的直角坐标为(-2,2),(3+2,2).温馨提示 求交点坐标时,要避免出现增根和减根的情况,因此,要切实注意参数的取值范围.这是初学者最容易忽视的.二、圆的渐开线的参数方程【例2】 已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A,B对应的参数分别是和，求A,B两点的距离.思路分析:首先根据圆的
3、直径可知半径为1，写出渐开线的标准参数方程，再根据A,B对应的参数代入参数方程可得对应的A,B两点的坐标，然后使用两点之间的距离计算公式可得A,B之间的距离.解:根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是(为参数)，分别把=和=代入，可得A,B两点的坐标分别为A()，B(,1).那么，根据两点之间的距离公式可得A,B两点的距离为|AB|=,即点A,B之间的距离为温馨提示 本节主要内容是圆的渐开线和摆线的定义和参数方程.要解决有关的问题首先要理解这两个定义和参数方程的推导过程，还要牢记两个参数方程.给出圆的半径要能写出对应的参数方程，根据参数方程能写出某对应参数的坐标，从而再解决其他问
4、题.本例题就是对这些知识的综合考查，要注意前后知识的联系.特别是两点之间的距离公式也要熟记.类题演练 2已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出当圆的半径最大时该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程.解:设摆线方程为令y=0,得r(1-cos)=0,即得cos=1.所以=2k(kZ).代入x=r(2k-sin2k)=2,即得r=(kZ).又由实际可知r0,所以r=(kN*).易知,当k=1时,r最大,最大值为.代入即可得圆的摆线的参数方程是(为参数),圆的渐开线的参数方程是(为参数).变式提升 2如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫做“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH,的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连结，则曲线AEFGH的长是( )A.3 B.4 C.5 D.6解析:如题图,根据渐开线的定义可知,是半径为1的圆周长,长度为,继续旋转可得是半径为2的圆周长,长度为;是半径为3的圆周长,长度为;是半径为4的圆周长,长度为2.所以,曲线AEFGH的长是5.答案:C
