1、西安市第八十三中学2014届高三年级第四次模拟考试数学(理)试题第卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1设全集，集合，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【KS5U解析】集合，所以。2. 复数等于（ ）A B. C. D.【答案】C【KS5U解析】。3.的展开式中，常数项等于（ ） A. 15 B. 10 C. D.【答案】A【KS5U解析】，由得r=4，所以常数项为。4已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不
2、必要条件【答案】B【KS5U解析】若有“”，则不一定得到“”；反之，若有“”，则“”一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件。5采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8抽到的50人中，编号落入区间1，400的人做问卷A，编号落入区间401，750的人做问卷B，其余的人做问卷C则抽到的人中，做问卷C的人数为（ ）A. 12 B. 13 C. 14 D. 15【答案】A【KS5U解析】若采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，则需要分为50组，每组20人，若第一组抽到的号码为8，则以
3、后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108，所以编号落入区间1，400的有20人，编号落入区间401，750的有18人，所以做问卷C的有12人6A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有()A24种 B60种 C90种 D120种【答案】B【KS5U解析】先让CDE排列，共有种排法，再让AB插空，若AB相邻，则有种排法；若AB不相邻，则有种排法，所以不同的排法有24+36=60种。7.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是( ) A.8 B.9 C.10 D.11【答案】C【KS5U解析】第一次循环：；第二次循环：；第
4、三次循环：；第四次循环：，此时满足条件，输出，输出的S的值为10.8已知抛物线的方程为，焦点为F，O为坐标原点，A是该抛物线上一点，与轴的正方向的夹角为，若的面积为，则的值为（ ） A. 2 B. C.2或 D. 2或【答案】A【KS5U解析】过A作ADx轴于D，令FD=m，则FA=2m，即F到准线的距离为2m，由抛物线的定义可得p+m=2m，即m=p，所以，又因为的面积为，所以，所以p=29.已知函数, 则( )A. B. C. D.【答案】B【KS5U解析】。10.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图（第8题图）所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A函数有极大值和极小值 B函数有
5、极大值和极小值 C函数有极大值和极小值 D函数有极大值和极小值 【答案】D【KS5U解析】因为函数的图像如图，所以函数在区间所以函数有极大值和极小值 。第卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡相应位置11设，满足约束条件，则的最小值是 .【答案】-3.【KS5U解析】画出约束条件的可行域，由可行域知：目标函数过点(1,1)时，取最小值-3.12某四面体的三视图如下图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_.【答案】【KS5U解析】由三视图可得原几何体如图，该几何体的高PO=2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，所以在该几何体中，
6、直角三角形是底面ABC和侧面PBC事实上，PO底面ABC，平面PAC底面ABC，而BCAC，BC平面PAC，BCPC所以，所以直角三角形的面积和是。 13将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的规律，第行（3）从左向右的第3 个数为 【答案】【KS5U解析】前行共有1+2+3+（n-1）=个数，所以第行（3）从左向右的第3 个数为+3=。14在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大于的概率是 .【答案】【KS5U解析】在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则基本事件空间为线段AB的长度。设点D为边AB的一个四等分点（最靠近B的那个
7、），若使PBC的面积大于，则点P应在线段AD上，所以PBC的面积大于的概率是。15（考生注意：请在以下三个小题中，任选一个作答.若多做,则按所做的第一题评卷计分） A（不等式选做题）若不等式的解集为空集，则实数的取值范围为 【答案】【KS5U解析】根据几何意义可知：要使不等式的解集为空集，则，所以实数的取值范围为。 B（几何证明选做题）是圆O的直径，为圆O上一点，过作圆O的切线交延长线于点，若DC=2，BC=1，则 . 【答案】【KS5U解析】连接BD、OD，如下图所示： 由已知中AB为圆O的直径，则ADB=90又CD为圆的切线，则CD2=CBCA，即（2）2=CA，CA=4，AB=3，得圆的
8、半径r=，在直角CDO中，则sinDCA.C（坐标系与参数方程选做题），在极坐标系（）中，直线被圆截得的弦的长是 【答案】【KS5U解析】直线即 y=x，圆化为直角坐标方程为 x2+y2=2y，即 x2+（y-1）2=1，表示以（0，1）为圆心，半径等于1的圆圆心到直线的距离，故弦长为。三、解答题：本大题共6小题,共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分12分）已知等差数列满足，. （I）求数列的通项公式； （II）求数列的前项和17 （本小题满分12分）已知=(,),=(, )， （R） （I）求函数的最小值和最小正周期；（II）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,
9、b,c且,，若，求a,b的值18（本小题满分12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图中的信息，回答下列问题 ()求分数在70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；()根据频率分布直方图，估计本次考试的平均分；()若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在40，70）记0分，抽到的学生成绩在70，100记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，/，平面平面（）求证：平面平面；（）若直线与平面所成的角的正弦值为 ，求二面角的平面角的余弦值2
10、0（本小题满分13分）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为 ()求椭圆的方程；()过原点的两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点，求证：点到直线 的距离为定值，并求出这个定值21（本小题满分14分）已知函数（）求的最小值；（）若在上为单调增函数，求实数的取值范围；（）证明：西安市第八十三中学2014届第4次模拟数学答案（理）一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分,满分50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的）题号12345678910答案DCABABCA BD 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11-3. 12。 13 14 15请
11、考生选答一题,若多答,则按所答的第一题计分.A. . B. C. 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.解： （I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得故数列的通项公式为 5分 （II）设数列，即，所以，当时， =所以综上，数列 12分17、解. ，则的最小值是， 最小正周期是； ，则， ， ，由正弦定理，得， 由余弦定理，得，即，由解得 18 解析 解：（）设分数在内的频率为x，根据频率分布直方图，则有，可得x=0.3. 所以频率分布直方图如图所示： 4分（）平均分为：6分（）学生成绩在40,70)的有0.460=24人，在70,100的有0.6
12、60=36人，且X的可能取值是0，1，2则，=所以X的分布列为：X012P所以EX012= 12分19法一（）取中点，连接，则，四边形是平行四边形，/直角和直角中，直角直角，易知 2分平面平面，平面平面 平面， 4分平面. 5分平面平面. 6分（）设交于，连接，则是直线与平面所成的角.设由，知， 9分作于，由，知平面，是二面角的平面角. 10分，而，即二面角的平面角的余弦值为. 12分法二：（）平面平面，平面平面，平面又，故可如图建立空间直角坐标系 2分由已知，（），平面. 4分平面平面 6分（）由（），平面的一个法向量是，设直线与平面所成的角为，即 8分设平面的一个法向量为，由，令，则 10
13、分， 11分显然二面角的平面角是锐角，二面角的平面角的余弦 12分20解：（I）由题意知，所以因为 所以， 所以 所以椭圆的方程为 4分II）由题意,当直线的斜率不存在，此时可设，.又，两点在椭圆上，所以，所以点到直线的距离6分当直线的斜率存在时，设直线的方程为由消去得 8分由已知得：设，则：所以，因为 所以所以即 10分所以整理得，满足成立 所以点到直线的距离为定值 13分21（本小题14分）解：（）函数的定义域为，.当，当. 为极小值点.极小值g(1)=1. 3分 （）.上恒成立，即在上恒成立. 又，所以.所以，所求实数的取值范围为.7分 （）由 （），取设，则，即.于是. 所以. 14分