1、课时提升作业 十一般形式的柯西不等式一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2016珠海高二检测)已知a,b,c,x,y,z为正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则=()A.B.C.D.【解析】选C.由已知得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2,结合柯西不等式,知=,所以=.2.已知x,y,z是非负实数,若9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值是()A.9B.10C.14D.15【解析】选A.因为(3x+6y+5z)212+()2+()2(3x)2+(2y)2+(z)2=9(9x2+12y2+5z
2、2)=81,所以3x+6y+5z9.当且仅当x=,y=,z=1时,等号成立.故u=3x+6y+5z的最大值为9.3.已知a2+b2+c2=1,若a+b+c|x+1|对任意实数a,b,c恒成立,则实数x的取值范围是()A.x1或x-3B.-3x1C.x-1或x3D.-1x3【解题指南】根据题目中的a2+b2+c2=1和a+b+c|x+1|的结构形式,可以联想使用柯西不等式.【解析】选A.由柯西不等式得:(a2+b2+c2)(1+1+2)(a+b+c)2,所以a+b+c2,又因为a+b+c|x+1|,所以|x+1|2,解之得x1或x-3.二、填空题(每小题4分,共8分)4.已知x,y,zR,且2x
3、+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为_.【解析】因为(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2(4+4+1)(2x+2y+z-1)2=81,所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)29.答案:95.设a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值是_.【解析】(a+b+c)=()2+()2+()2=(2+3+6)2=121.当且仅当=时等号成立.答案:121三、解答题6.(10分)(2016深圳高二检测)已知定义在R上的函数f(x)=+的最小值为a,又正数p,q,r满足p+q+r=a.求证p2+q2+r23.【证明】因为f(x)=+=3,即函数f(x)=+的最小
4、值a=3.所以p+q+r=3.由柯西不等式得(p2+q2+r2)(1+1+1)(p+q+r)2=9,于是p2+q2+r23.一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是()A.B.C.6D.3【解析】选B.由柯西不等式,得(12+12+12)x2+y2+(1-x-y)2x+y+(1-x-y)2=1.即x2+y2+(1-x-y)2.当且仅当x=y=1-x-y.即x=y=时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值.【补偿训练】(2015珠海高二检测)已知+=1,+=1,则a1x1+a2x2+anxn的最大值是()A.1B.2C.3D.4【解析】选
5、A.因为(a1x1+a2x2+anxn)2(+)(+)=11.当且仅当=时,等号成立.所以a1x1+a2x2+anxn的最大值为1.2.(2016长沙高二检测)已知为锐角,则的最小值为()A.3-2B.3+2C-1D.+1【解析】选B.,当且仅当sin=cos时等号成立,此时=3+2.即的最小值为3+2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.方程2+=的解为_.【解题指南】利用柯西不等式等号成立的条件构建方程求解.【解析】由柯西不等式,得(2+)2=22+()2=6=15,即2+.当且仅当=,即x=-时,等号成立.故原方程的根是x=-.答案:x=-4.(2016西安高二检测)边长为a,b,c的三角形ABC,其面积为,外接圆半径为1,若s=+,t=+,则s与t的大小关系是_.【解析】由已知得absinC=,=2R=2.所以abc=1,所以+=ab+bc+ca,由柯西不等式得(ab+bc+ca)(+)2,所以(+)2.即+.当且仅当a=b=c=1时等号成立.答案:st三、解答题5.(10分)(2016石家庄高二检测)设a1a2anan+1,求证:+0.【证明】为了运用柯西不等式,我们将a1-an+1写成a1-an+1=(a1-a2)+(a2-a3)+(an-an+1),于是(a1-a2)+(a2-a3)+(an-an+1)n21.即(a1-an+1)(+)1,所以+,故+0.