1、2015-2016学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数z=12i的虚部是（）A2B2C2iD2i2下列导数运算错误的是（）A（x2）=2x1B（cosx）=sinxC（xlnx）=1+lnxD（2x）=2xln23函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的极大值点的个数为（）A0B1C2D34若函数f（x）的导函数f（x）=x（2x）ex，则下列关系一定成立的是（）Af（2）0Bf（0）f（1）Cf（2）f（1）Df（2）f（3）5已知两个命题：p：“若复数z1，z2满足z1z2
2、0，则z1z2”；q：“存在唯一的一个实数对（a，b）使得abi=i（2+i）”其真假情况是（）Ap真q假Bp假q假Cp假q真Dp真q真6若小球自由落体的运动方程为s（t）=（g为常数），该小球在t=1到t=3的平均速度为，在t=2的瞬时速度为v2，则和v2关系为（）Av2Bv2C =v2D不能确定7如图，过原点斜率为k的直线与曲线y=lnx交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）k的取值范围是（0，）k当x（x1，x2）时，f（x）=kxlnx先减后增且恒为负以上结论中所有正确结论的序号是（）ABCD8已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其导函数的图象如图所示，则函数f（x）的图象
3、只可能是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.9计算=10（x3）dx=11已知f（x）=，则f（x）=12方程（x1）ex=1的解的个数为三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.13已知函数f（x）=ax3+bx2+cx，其导函数为f（x）的部分值如表所示：x3201348f（x）24106801090根据表中数据，回答下列问题：（）实数c的值为；当x=时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）（）求实数a，b的值（）若f（x）在（m，m+2）上单调递减，求m的取值范围14如图，四棱锥BACDE的底面ACD
4、E满足 DEAC，AC=2DE（）若DC平面ABC，ABBC，求证：平面ABE平面BCD；（）求证：在平面ABE内不存在直线与DC平行；某同学用分析法证明第（1）问，用反证法证明第 （2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容（）证明：欲证平面ABE平面BCD，只需证，由已知ABBC，只需证，由已知DC平面ABC可得DCAB成立，所以平面ABE平面BCD（）证明：假设，又因为DC平面ABE，所以DC平面ABE又因为平面ACDE平面ABE=AE，所以，又因为DEAC，所以ACDE是平行四边形，所以AC=DE，这与矛盾，所以假设错误，原结论正确15已知函数f（x）=lnx+ax（aR）（）若
5、函数f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线y=2x平行，求实数a的值及该切线方程；（）若对任意的x（0，+），都有f（x）1成立，求实数a的取值范围16请阅读问题1的解答过程，然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答：问题1：已知数集A=a1，a2，an（1a1a2an，n2）具有性质P：对任意的i，j（1ijn），aiaj与两数中至少有一个属于A若数集a1，2，3，a4具有性质P，求a1，a4的值解：对于集合中最大的数a4，因为a4a4a4，3a4a4，2a4a4所以，都属于该集合又因为1a123a4，所以所以，故a1=1，a4=6问题2：已知数集A=a1，a2，an（0a1a2an，n2
6、）具有性质P：对任意的i，j（1ijn），ai+aj与ajai两数中至少有一个属于A若数集a1，1，3，a4具有性质P，求a1，a4的值17已知函数f（x）=（x0），对于正数x1，x2，xn（nN+），记Sn=x1+x2+xn，如图，由点（0，0），（xi，0），（xi，f（xi），（0，f（xi）构成的矩形的周长为Ci（i=1，2，n），都满足Ci=4Si（i=1，2，n）（）求x1；（）猜想xn的表达式（用n表示），并用数学归纳法证明2015-2016学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中
7、，只有一项是符合题目要求的.1复数z=12i的虚部是（）A2B2C2iD2i【考点】复数的基本概念【分析】利用虚部的定义即可得出【解答】解：复数z=12i的虚部是2故选：A2下列导数运算错误的是（）A（x2）=2x1B（cosx）=sinxC（xlnx）=1+lnxD（2x）=2xln2【考点】导数的运算【分析】根据基本求导公式求导即可【解答】解：对于A：（x2）=2x3，故错误，对于B，（cosx）=sinx，故正确，对于C（xlnx）=1+lnx，故正确，对于D，（2x）=2xln2，故正确，故选：A3函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的极大值点的个数为（）A0B1C2D3【考点】函数
8、的图象【分析】由图象可知，从左到右，图象先增，再减，再增，因此根据图象即可求得极大值点的个数【解答】解：由图象可知，从左到右，图象先增，再减，再增，故f（x）的极大值点的个数为2个，故选：C4若函数f（x）的导函数f（x）=x（2x）ex，则下列关系一定成立的是（）Af（2）0Bf（0）f（1）Cf（2）f（1）Df（2）f（3）【考点】导数的运算【分析】根据导数判断出函数的单调性，再由函数的单调性判断即可【解答】解：当f（x）=x（2x）ex0，解得0x2，故f（x）单调递增，当f（x）=x（2x）ex0，解得x或x2，故f（x）单调递减，f（2）f（3）故选：D5已知两个命题：p：“若复数
9、z1，z2满足z1z20，则z1z2”；q：“存在唯一的一个实数对（a，b）使得abi=i（2+i）”其真假情况是（）Ap真q假Bp假q假Cp假q真Dp真q真【考点】复数的基本概念【分析】p：复数若不完全是实数，不能比较大小，即可判断出真假；q：利用复数相等的定义即可判断出真假【解答】解：p：取z1=2+i，z2=1+i，虽然满足：z1z20，但是z1z2不成立，由于复数若不完全是实数，不能比较大小，因此是假命题；q：“存在唯一的一个实数对（a，b）使得abi=i（2+i）”，利用复数相等的定义可知：是真命题其真假情况是p假q真故选；C6若小球自由落体的运动方程为s（t）=（g为常数），该小球
10、在t=1到t=3的平均速度为，在t=2的瞬时速度为v2，则和v2关系为（）Av2Bv2C =v2D不能确定【考点】变化的快慢与变化率【分析】求函数的导数，根据导数的物理意义进行求解即可【解答】解：平均速度为=2g，s（t）=，s（t）=gt，t=2的瞬时速度为v2，v2=s（2）=g2=2g，=v2故选：C7如图，过原点斜率为k的直线与曲线y=lnx交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）k的取值范围是（0，）k当x（x1，x2）时，f（x）=kxlnx先减后增且恒为负以上结论中所有正确结论的序号是（）ABCD【考点】命题的真假判断与应用；对数函数的图象与性质【分析】构造函数f（x）=kxl
11、nx，求导可得f（x）=k，由已知f（x）有两个不同的零点，得k0，进一步可得f（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增，画图可得f（）=10，则0，故正确；由，得，故错误；由图可知，当x（x1，x2）时，f（x）=kxlnx先减后增且恒为负，故正确【解答】解：令f（x）=kxlnx，则f（x）=k，由已知f（x）有两个不同的零点，则k0，f（x）在（0，）上单调递减，在（）上单调递增，f（）=10，则0，故正确；且有，故错误；当x（x1，x2）时，f（x）=kxlnx先减后增且恒为负，故正确所有正确结论的序号是故选：C8已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其导函数的图象如图所示，
12、则函数f（x）的图象只可能是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】关键导函数图象的位置以及形状对原函数进行分析解答【解答】解：由题意，导函数图象为无零点的开口向上的二次函数图象，并且最低点为（1，1），所以原函数在x=1出的导数为1，由此排除选项A，B；再由导函数的定义域为R，而排除选项C；故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.9计算=2i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：原式=i+2，故答案为：2i10（x3）dx=4【考点】定积分【分析】欲求函数x3的定积分值，故先利用导数求出x3的原函数，再结合定积分定理进
13、行求解即可【解答】解：（x3）dx=（x23x）=4故答案为：411已知f（x）=，则f（x）=【考点】导数的运算【分析】先化简f（x），再根据导数的运算法则计算即可【解答】解：f（x）=1+f（x）=（1+）=故答案为：12方程（x1）ex=1的解的个数为1【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由（x1）ex=1得x1=ex，作函数y=x1与y=ex的图象，从而利用数形结合求解即可【解答】解：（x1）ex=1，x1=ex，作函数y=x1与y=ex的图象如下，函数的图象的交点有一个，方程（x1）ex=1的解的个数为1，故答案为：1三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明，证明
14、过程或演算步骤.13已知函数f（x）=ax3+bx2+cx，其导函数为f（x）的部分值如表所示：x3201348f（x）24106801090根据表中数据，回答下列问题：（）实数c的值为6；当x=3时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）（）求实数a，b的值（）若f（x）在（m，m+2）上单调递减，求m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（）由极值的定义，通过表格可求解；（）在表格中取两组数据代入解析式即可；（）利用导数求出f（x）的单调减区间D，依据（m，m+2）D即可【解答】解：（）6，3（）解：f（x）=3ax2+2bx+c，由已知表格可得解得（）解：由（）可得f（x）
15、=2x2+4x+6=2（x3）（x+1），由f（x）0可得x（，1）（3，+），因为f（x）在（m，m+2）上单调递减，所以仅需m+21或者m3，所以m的取值范为m3或m314如图，四棱锥BACDE的底面ACDE满足 DEAC，AC=2DE（）若DC平面ABC，ABBC，求证：平面ABE平面BCD；（）求证：在平面ABE内不存在直线与DC平行；某同学用分析法证明第（1）问，用反证法证明第 （2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容（）证明：欲证平面ABE平面BCD，只需证AB平面BCD，由已知ABBC，只需证ABDC，由已知DC平面ABC可得DCAB成立，所以平面ABE平面BCD（）证
16、明：假设在平面ABE内存在直线与DC平行，又因为DC平面ABE，所以DC平面ABE又因为平面ACDE平面ABE=AE，所以DCAE，又因为DEAC，所以ACDE是平行四边形，所以AC=DE，这与AC=2DE矛盾，所以假设错误，原结论正确【考点】棱锥的结构特征【分析】用分析法证明第（）问，用反证法证明第 （）问，根据分析法、反证法的证明步骤，即可得出结论【解答】（）证明：欲证平面ABE平面BCD，只需证AB平面BCD，由已知ABBC，只需证ABDC，由已知DC平面ABC可得DCAB成立，所以平面ABE平面BCD（）证明：假设在平面ABE内存在直线与DC平行，又因为DC平面ABE，所以DC平面AB
17、E又因为平面ACDE平面ABE=AE，所以DCAE，又因为DEAC，所以ACDE是平行四边形，所以AC=DE，这与AC=2DE矛盾，所以假设错误，原结论正确故答案为AB平面BCD；ABDC；在平面ABE内存在直线与DC平行；DCAE；AC=2DE15已知函数f（x）=lnx+ax（aR）（）若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线y=2x平行，求实数a的值及该切线方程；（）若对任意的x（0，+），都有f（x）1成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出导函数，利用切线方程斜率关系求出a，然后求解切线方程（）解1：通过函数的
18、导数与函数的单调性关系求出函数的极大值，即可得到a的范围解2：当a0时，验证不符题意，当a0时，通过函数的导数与单调性的关系，求出f（x）的最大值然后求解a的取值范围【解答】（本小题12分）（）解：，x0由已知可得f（1）=1+a=2，解得a=1因为f（1）=1，所以在点（1，f（1）处的切线方程为y=2x1（）解1：若对任意x（0，+），都有f（x）1成立，即成立设，令g（x）=0，解得x=e2，则g（x），g（x）的情况如下： x（0，e2）e2（e2+）g（x）0+g（x）极大值所以g（x）的最小值为g（e2）=e2，所以，依题意只需实数a满足ae2，故所求a的取值范围是（，e2解2：当
19、a0时，f（x）0恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+）又因为，所以不符题意，舍当a0时，令f（x）=0，得所以f（x），f（x）随x的变化如下表所示：xf（x）+0f（x）所以f（x）的最大值为，所以，依题意只需即可，解得ae2综上，a的取值范围是（，e216请阅读问题1的解答过程，然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答：问题1：已知数集A=a1，a2，an（1a1a2an，n2）具有性质P：对任意的i，j（1ijn），aiaj与两数中至少有一个属于A若数集a1，2，3，a4具有性质P，求a1，a4的值解：对于集合中最大的数a4，因为a4a4a4，3a4a4，2a4a4所以，都
20、属于该集合又因为1a123a4，所以所以，故a1=1，a4=6问题2：已知数集A=a1，a2，an（0a1a2an，n2）具有性质P：对任意的i，j（1ijn），ai+aj与ajai两数中至少有一个属于A若数集a1，1，3，a4具有性质P，求a1，a4的值【考点】元素与集合关系的判断【分析】可模仿问题1的解答过程，判断最大的数a4，由a4+a4a4，3+a4a4，1+a4a4便可根据条件得出a4a4，a43，a41都属于该集合，这样便可由0a113a4得出a1=a4a4，a43=1，a41=3，从而便得出a1，a4的值【解答】解：对于集合中最大的数a4，因为a4+a4a4，3+a4a4，1+a
21、4a4；所以a4a4，a43，a41都属于该集合；又因为0a113a4，所以a4a4a43a41a4；所以a1=a4a4=0，a43=1，a41=3，故a1=0，a4=417已知函数f（x）=（x0），对于正数x1，x2，xn（nN+），记Sn=x1+x2+xn，如图，由点（0，0），（xi，0），（xi，f（xi），（0，f（xi）构成的矩形的周长为Ci（i=1，2，n），都满足Ci=4Si（i=1，2，n）（）求x1；（）猜想xn的表达式（用n表示），并用数学归纳法证明【考点】数学归纳法【分析】（）利用矩形的周长公式计算可知（i=1，2，n），进而令i=1计算即得结论；（）通过（I），分别
22、令i=2、i=3，计算可知、，进而由此猜想（nN+），然后利用数学归纳法证明即可【解答】（）解：由题意知，（i=1，2，n），又因为Ci=4Si（i=1，2，n），所以（i=1，2，n）令i=1，得，又S1=x1，且x10，故x1=1（）解：令i=2，得，又S2=x1+x2，x1=1，且x20，故；令i=3，得，又S3=x1+x2+x3，x1=1，且x30，故；由此猜想，（nN+）下面用数学归纳法证明：当n=1时，x1=1，命题成立；假设n=k时命题成立，即（kN+），则当n=k+1时，又Sk+1=Sk+xk+1，故，由，得，所以（舍去）即当n=k+1时命题成立综上所述，对任意自然数n，都有成立2017年1月4日
