1、课时素养评价 四十古 典 概 型 (15分钟30分)1.袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸2个小球,下列不是样本点的是()A.正好2个红球B.正好2个黑球C.正好2个白球D.至少一个红球【解析】选D.至少一个红球包含:一红一白或一红一黑或2个红球,所以至少一个红球不是样本点.2.下列概率模型中,是古典概型的个数为()(1)从区间内任取一个数,求取到1的概率;(2)从110中任意取一个整数,求取到1的概率;(3)在一个正方形ABCD内画一点P,求P刚好与点A重合的概率;(4)向上抛掷一枚不均匀的硬币,求出现反面朝上的概率.A.1B.2C.3D.4【解题指南】判断一个概率模型是否是古
2、典概型,关键是看它是否满足两个条件:有限性;等可能性.【解析】选A.第1个概率模型不是古典概型,因为从区间内任意取出一个数,有无数个对象可取,所以不满足有限性.第2个概率模型是古典概型,因为试验结果只有10个,而且每个数被抽到的可能性相等,即满足有限性和等可能性;第3个概率模型不是古典概型,不满足有限性;第4个概率模型也不是古典概型,因为硬币不均匀,因此两面出现的可能性不相等.3.(2019全国卷)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标,若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为()A.B.C.D.【解析】选B.从5只兔子中随机取出3只,总的基本事件有10种;又因为
3、只有3只测量过某项指标,故恰有2只测量过该指标的种数为6,则恰有2只测量过该指标的概率为,即.4.从字母a,b,c,d,e中任取两个不同的字母,则取到字母a的概率为.【解析】总的取法有:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de共10种,其中含有a的有ab,ac,ad,ae共4种,故所求概率为=.答案:5.(2020江苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是.【解析】总事件数为66=36,满足条件的事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4种,则点数和为5的概率为=.答案:6.连续掷3枚硬币,观察这3枚硬币落在地面上时是
4、正面朝上还是反面朝上.(1)写出这个试验的所有样本点.(2)求这个试验的样本点的总数.(3)求“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件发生的概率.【解析】(1)这个试验包含的样本点有:(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).(2)这个试验包含的样本点的总数是8.(3)设A=“恰有两枚硬币正面朝上”,则A事件包含以下3个样本点:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).所以P(A)=. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.两位男同学和两位女同学随机排成一列,则样本点的个数是()A.4B.12
5、C.16D.24【解析】选D.将两位男同学分别记为A1,A2,两位女同学分别记为B1,B2,则四位同学排成一列,情况有A1A2B1B2,A1A2B2B1,A2A1B1B2,A2A1B2B1,A1B1A2B2,A1B2A2B1,A2B1A1B2,A2B2A1B1,B1A1A2B2,B1A2A1B2,B2A1A2B1,B2A2A1B1,A1B1B2A2,A1B2B1A2,A2B1B2A1,A2B2B1A1,B1B2A1A2,B1B2A2A1,B2B1A1A2,B2B1A2A1,B1A1B2A2,B1A2B2A1,B2A1B1A2,B2A2B1A1,共有24种.2.从正方形四个顶点及其中心这5个点中
6、,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.如图可知从5个点中选取2个点的全部情况有(O,A),(O,B),(O,C),(O,D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共10种.选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6种.故所求概率为=.【补偿训练】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.从1,2
7、,3,4,5中任取3个不同的数,共有如下10个不同的结果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股数只有(3,4,5),所以概率为.3.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.”从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.从五种不同属性的物质中随机抽取两种,有(金,木)、(金,水)、(金,火)、(金,土)、(木,水)、(木,火)、(木,土)、(水,火)、(
8、水,土)、(火,土)共10种等可能发生的结果,其中金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,即相克的有5种,则不相克的也是5种,所以抽取的两种物质不相克的概率为.4.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个,被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是()A.B.C.D.【解析】选D.用(x,y,z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元.乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种,分别为(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(
9、3,1,2),(3,2,1),(2,2,2).乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种,分别为(4,1,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2).根据古典概型的概率计算公式,得乙获得“手气最佳”的概率P=.【补偿训练】从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是()A.B.C.D.【解析】选D.分类讨论法求解.个位数与十位数之和为奇数,则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数,所以可以分两类.(1)当个位为奇数时,有54=20个符合条件的两位数.(2)当个位为偶数时,有55=25个符合条件的两位数.因此共有20+25=45个符合条件的两位数,其中个位数为0的两
10、位数有5个,所以所求概率为P=.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列试验是古典概型的是()A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小B.同时掷两颗骰子,点数和为6的概率C.近三天中有一天降雨的概率D.10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率【解析】选ABD.A,B,D是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点.C不是古典概型,因为不符合等可能性,降雨受多方面因素影响.6.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个,每次任取一个,有放回地取3次,则概率不是的为()A.颜色全相同B.颜色不全相同C.颜色全不同D.无红球【解析】选BCD.
11、有放回地取球3次,共27种可能结果,其中颜色全相同的结果有3种,其概率为=;颜色不全相同的结果有24种,其概率为=;颜色全不同的结果有6种,其概率为=;无红球的情况有8种,其概率为.三、填空题(每小题5分,共10分)7.在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,则两人都中奖的概率是.【解析】设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0,那么甲、乙抽奖结果有(1,2),(1,0),(2,1),(2,0),(0,1),(0,2),共6种.其中甲、乙都中奖有(1,2),(2,1),共2种,所以P=.答案:【补偿训练】设m,n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,则在先后两次出现的点数
12、中有5的条件下,方程x2+mx+n=0有实根的概率为.【解析】先后两次出现的点数中有5的情况有:(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共11种,其中使方程x2+mx+n=0有实根的情况有:(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共7种.故所求事件的概率P=.答案:8.小李在做一份调查问卷,共有5道题,其中有两种题型,一种是选择题,共3道,另一种是填空题,共2道.若小李从中任选2道题解答,每一次选1题(不放回),则所选的题不是同一种题型的概率为,若小李从中任选
13、2道题解答,每一次选1题(有放回),则所选的题不是同一种题型的概率为.【解析】将3道选择题依次编号为1,2,3;2道填空题依次编号为4,5.从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(不放回),则所有样本点为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20种,而且这些样本点发生的可能性是相等的.设事件A为“所选的题不是同一种题型”,则事件A包含的样本点有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(
14、3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12种,所以P(A)=0.6.从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(有放回),则所有样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25种,而且这些样本点发生的可能性是相等的.设事件B为“所选的题不是同一种题型”,因为所选题不是同一种题型的
15、样本点共12种,所以P(B)=0.48.答案:0.60.48四、解答题(每小题10分,共20分)9.先后掷两枚大小相同的骰子.(1)求点数之和出现7点的概率.(2)求出现两个4点的概率.(3)求点数之和能被3整除的概率.【解析】如图所示,从图中容易看出基本事件与所描点一一对应,共36个.(1)记“点数之和出现7点”为事件A,从图中可以看出,事件A包含的基本事件共6个:(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6),故P(A)=.(2)记“出现两个4点”为事件B,从图中可以看出,事件B包含的基本事件只有1个,即(4,4),故P(B)=.(3)记“点数之和能被3整除”为事件
16、C,则事件C包含的基本事件共12个:(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6).故P(C)=.10.(2019天津高考)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层随机抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A
17、,B,C,D,E,F.享受情况如表,其中“”表示享受,“”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工ABCDEF子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.【解析】(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6910,由于采取分层随机抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,B,C,B,D,B,E,B,F,C,D,C,E,C,F,D,E,D,F
18、,E,F,共15种;由表格知,符合题意的所有可能结果为A,B,A,D,A,E,A,F,B,D,B,E,B,F,C,E,C,F,D,F,E,F,共11种,所以事件M发生的概率P(M)=.1.一个三位数,它的个、十、百位上的数字依次为x,y,z,当且仅当yx,yz时,称这样的数为“凸数”(如243),现从集合5,6,7,8中取出三个不同的数组成一个三位数,则这个三位数是“凸数”的概率为()A.B.C.D.【解析】选B.从集合5,6,7,8中取出3个不同的数组成一个三位数共有24个结果:567,576,657,675,756,765,568,586,658,685,856,865,578,587,7
19、58,785,857,875,678,687,768,786,867,876,其中是“凸数”的是:576,675,586,685,587,785,687,786共8个结果,所以这个三位数是“凸数”的概率为=.2.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:若xy3,则奖励玩具一个;若xy8,则奖励水杯一个;其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率.(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.【解析】(1)用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间与点集S=(x,y)|xN,yN,1x4,1y4一一对应.因为S中元素的个数是44=16,所以基本事件总数n=16.记“xy3”为事件A,则事件A包含的基本事件共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.(2)记“xy8”为事件B,“3xy,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
