1、等差数列的前n项和(建议用时：40分钟)一、选择题1在等差数列an中，a21，a45，则an的前5项和S5()A7B15C20D25B设an的首项为a1，公差为d，则有所以所以S55a1d152“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在四元玉鉴中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，)若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为()三角锥垛A45 B36 C28 D21D由题意分析可得a11，a2123，a31236，则“三角形数”的通项公式an，a621故选D3
2、设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A5 B7 C9 D11A法一：a1a52a3，a1a3a53a33，a31，S55a35，故选A法二：a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，S55a1d5(a12d)5，故选A4设Sn是等差数列an的前n项和，若，则()A1 B1 C2 DA15已知等差数列an的前n项和为Sn，且，那么的值为()A B C DD设S4m，则S83m，由性质得S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列，S4m，S8S42m，所以S12S83m，S16S124m，所以S1610m，二、填空题6已知数列an的通项公式是
3、an2n48，则Sn取得最小值时，n为_23或24a240，a10，a20，a230，故S23S24最小7已知等差数列an的前n项和为Sn，若S222，S5100，则S10_350法一：设等差数列an的公差为d，则解得所以S101081096350法二：设SnAn2Bn， 则解得所以S1031025103508古有女子善织布，初日织三尺，日增等尺，第四日织九尺，则第七日织_尺，八日共织_尺1580设该女子第n(nN*)日织an尺布，可知数列an为等差数列，设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则 ，解得 ，a7a16d15，S88a1d8328280因此，该女子第七日织15尺布，八日共织8
4、0尺布故答案为：15；80三、解答题9在等差数列an中，a1018，前5项的和S515(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和的最小值，并指出何时取最小解(1)由题意得解得a19，d3，an3n12(2)法一：Sn(3n221n)，n3或4，此时S3S418当n3或4时，前n项和取得最小值18法二：设前n项的和取得最小，则得3n4，n3或4此时S3S418当n3或4时，前n项和取得最小值1810一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息(1)
5、到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h，这支车队当天总共行驶了多少路程？解由题意，知第1辆车在休息之前行驶了240 min，各辆车行驶的时间构成一个等差数列an，其中a1240，公差d10，则an24010(n1)10n250(1)a151015250100，到下午6时，最后一辆车行驶了100 min(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为152 550(min)(h)，这支车队当天总共行驶的路程为602 550(km)1在等差数列an中，Sn是其前n项和，且S2 011S2 017，SkS2 007，则正整数k为()A2 016B2 019C2 018
6、D2 021D因为等差数列的前n项和Sn可看成是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011S2 017，SkS2 007，可得，解得k2 021故选D2(多选题)已知等差数列的前n项和为Sn，若S130，则下列说法正确的有()Aa60Ba70Ca6a70BD由题知，S1313a70，所以a70所以a6a70故选BD3设首项为a1，公差为d的递增等差数列an的前n项和为Sn，其中a1，d为实数，若S3S4120，则d的取值范围是_4，)因为S33a1d3a13d，S44a1d4a16d，所以S3S412(3a13d)(4a16d)120，所以2a5a1d3d220，因为关于a1的方程
7、有实数根，所以25d242(3d22)0，即d216，解得d4或d4，又数列an为递增数列，则d4，d的取值范围是4，)故答案为：4，)4已知数列an的前n项和为Sn，数列是首项为，公差为的等差数列，则an的通项公式为_；若x表示不超过x的最大整数，如0.50，lg 4992，则数列lgan的前2 000项的和为_an3782数列是首项为，公差为的等差数列，(n1)，得到Sn，当n1时，a1S1，当n2时，anSnSn1，又a1，an，lg an，当1lg an0时，n1，当0lg an1时，n2，3，19，当1lg an2时，n20，21，199，当2lg an3时，n200，201，1 9
8、99，当lg an3时，n2 000，故数列lg an的前2000项的和为：lg a1lg a2lg a3lg a2 00011180118021 800313 782故答案为：an，3 782数列an的前n项和Sn33nn2(1)求an的通项公式；(2)an的前多少项和最大；(3)设bn|an|，求数列bn的前n项和Sn解(1)法一：当n2时，anSnSn1342n，又当n1时，a1S133132满足an342n故an的通项公式为an342n法二：由Snn233n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以an是等差数列，由Sn的结构特征知解得a132，d2，所以an342n(2)法一：令an0，得342n0，所以n17，故数列an的前17项大于或等于零又a170，故数列an的前16项或前17项的和最大法二：yx233x的对称轴为x，距离最近的整数为16，17由Snn233n的图像可知：当n17时，an0，当n18时，an0，故数列an的前16项或前17项的和最大(3)由(2)知，当n17时，an0；当n18时，an0所以当n17时，Snb1b2bn|a1|a2|an|a1a2anSn33nn2当n18时，Sn|a1|a2|a17|a18|an|a1a2a17(a18a19an)S17(SnS17)2S17Snn233n544故Sn