1、山东省滕州一中2020-2021学年高二数学9月开学收心考试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用已知化简复数，可得在复平面内对应的点以及所在的象限【详解】，则在复平面内对应的点位于第二象限故选：B【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的定义，属于基础题2. 在中，为边上的中线，为的中点，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量
2、的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得 ，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.3. 为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如下统计图，则采用“直播录播”方式进行线上教学的学校占比约为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据统计图中直播和录播
3、的学校数量，求出直播所占百分比，即可得出“直播录播”所占比例.【详解】由题意，设直播所占的百分比为，根据统计图可得：，解得，因此采用“直播录播”方式进行线上教学的学校占比约为.故选：B.【点睛】本题主要考查统计图的实际应用，属于基础题型.4. 在中，角、所对的边分别为、，若其面积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题首先可以根据余弦定理将转化为，然后根据得出，即可得出结果.【详解】因为，所以，因为面积为，所以，即，故选：D.【点睛】本题考查余弦定理以及解三角形面积公式的应用，考查的公式为、，考查计算能力，考查转化与化归思想，是简单题.5. 设，向量且，则（ ）A.
4、B. C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数，再求向量模长即可.【详解】，故选：.【点睛】本题考查向量垂直、平行以及模长的坐标表示，属综合基础题.6. 某市从2017年秋季入学的高一学生起实施新高考改革，学生需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课中任选3门作为等级考科目.已知该市高中2017级全体学生中，选考物理或历史，选考物理，选考历史，则该市既选考物理又选考历史的学生数占全市学生总败的比例为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出示意图，根据各自所占的比例即可求解结论【详解】解：；由题可得：；故选：【点睛】本题考查简单随机
5、抽样等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题7. 已知三条不重合的直线，三个不重合的平面，则（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】由空间中直线与直线，直线与平面的位置关系可判定A、B项；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理，可证得C正确；由面面平行的判定定理，可判定D不正确.详解】对于A中，若，则或，所以A项不正确；对于B中，若，则或与相交，所以B项不正确；对于C中，设，在平面内任取一点，作，垂足分别为，由面面垂直的性质定理，可得，又因为，可得，所以C项正确；对于D中，若，只有相交时，才有，所以D项不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了空间中线
6、面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于中档试题.8. 已知空间直角坐标系中，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，根据点在直线上，求得，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得时，取得最小值，即可求解.【详解】设，由点在直线上，可得存在实数使得，即，可得,所以则，根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.故选：C.【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算
7、公式，得出关于的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分9. 下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A. 若复数，则B. 若复数满足，则C. 若复数满足，则D. 若复数，满足，则【答案】AC【解析】【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A正确；B选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B错；C选项，设复数，则，因为，所以，即，所以；故C正确；D选项，设复数，则，因为，所以
8、，若，能满足，但，故D错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.10. 给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）A. 平均数为3B. 标准差为C. 众数为2和3D. 第85百分位数为4.5【答案】AC【解析】【分析】根据平均数，方差、标准差的计算公式，可判定A、B项；由众数和百分位数的概念，可判定C、D，即可求解.【详解】由平均数的计算公式，可得数据的平均数为，所以A项正确；由方差的公式，可得，所以标准差为，所以B项不正确；根据众数的概念，可得数据的众数为和，所以C项正确；根据百分位数的概念，可得第85百分位数：从大到小排
9、序的第8和第9个数据的平均数值，即为，所以D项不正确.故选：AC.【点睛】本题主要考查了平均数，标准差的计算，以及众数与百分位数的概念及应用，其中解答中熟记平均数和方差的计算公式，以及众数与百分位数的概念是解答的关键，属于基础题.11. 如图，在正方体中，点为线段上一动点，则（ ）A. 直线平面B. 异面直线与所成角为C. 三棱锥的体积为定值D. 平面与底面的交线平行于【答案】ACD【解析】【分析】由直线与平面垂直的判定及性质得到，得到直线平面，判定正确；求出异面直线所成角判断错误；由直线与平面平行说明到平面的距离为定值判断正确；由直线与平面平行的性质判断正确【详解】，平面，则，同理，直线平面
10、，故正确；，四边形为平行四边形，则，则为异面直线与所成角，为，故错误；，平面，平面，平面可得到平面的距离为定值，即三棱锥的体积为定值，故正确；平面，平面，设平面与底面的交线为，由直线与平面平行的性质，可得平面与底面的交线平行于，故正确故选：【点睛】本题考查空间图形中直线与直线成角、线面平行的性质与判断，线面垂直的判断以及锥体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题12. （多选题）在四面体中，以上说法正确的有（ ）A. 若，则可知B. 若为的重心，则C. 若，则D. 若四面体各棱长都为2，分别为的中点，则 【答案】ABC【解析】【分析】作出四面体直观图，在每个三角形中利用向量的线性运
11、算可得.【详解】对于 ， ， ，即，故正确；对于，为的重心，则，,即，故正确；对于，若，则，,，故正确； 对于，故错误.故选：ABC【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 在平行六面体中，且所有棱长均为2，则对角线的长为_【答案】【解析】【详解】故对角线的长为14. 某工厂有，三个车间，车间有60
12、0人，车间有500人.若通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中车间10人，则样本中车间的人数为_【答案】8【解析】【分析】根据题意，先确定分层抽样的抽样比，求出样本中车间的人数，进而可求出车间的人数.【详解】因为车间有500人，样本中车间10人，所以抽样比为，因此车间抽取的人数为，所以样本中车间的人数为.故答案为：.【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题型.15. 如图所示，正方体的棱长为2，是上的一个动点，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】首先把直观图转换为平面图，进一步求出平面图中线段长的最小值【详解】如图所示：将沿直线折起，当点、同一条直线上时，最小，此时，
13、是边长为的等边三角形，所以所以的最小值是故答案为：【点睛】本题考查知识要点：直观图和平面展开图，平面图中线段长的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力16. 在中，E，F是边的三等分点，若，则_【答案】【解析】【分析】以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD，根据，得到， 再根据，得到平行四边形ABCD是菱形，则，设，利用勾股定理分别求得，的长度，在中利用余弦定理求解.【详解】如图所示：以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD，则，因为，所以，设，则，因为，所以平行四边形ABCD是菱形，所以，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则以及余弦定理的应用，还考
14、查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知，与夹角是（1）求的值及的值；（2）当为何值时，？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用数量积定义及其向量的运算性质，即可求解；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得，.（2）因为，所以，整理得，解得即当值时，【点睛】本题主要考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量垂直的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档题18
15、. 已知函数（，）的图象如下图所示（1）求出函数的解析式；（2）若将函数的图象向右移动个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，求出函数的单调增区间及对称中心.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）通过函数的图象求出振幅，周期，以及b求出函数f（x）的解析式；（2）利用平移变换的运算求出函数yg（x）的解析式，通过正弦函数的单调增区间求解函数单调增区间及对称中心【详解】（1） 由图可得且而,故综上（2）显然由得的单调递增区间为. 由.【点睛】本题考查三角函数的解析式的求法，平移变换以及正弦函数的单调区间，对称中心的求法，考查计算能力19. 已知同时满足下列四
16、个条件中的三个：； ； （）请指出这三个条件，并说明理由；（）求的面积【答案】（）同时满足，理由见解析；（）【解析】【分析】（）从角的角度，先分析能否同时满足，再从边的角度，分析同时满足，再利用大边对大角求解.（）结合条件利用余弦定理，求得边c，再代入公式求解【详解】（）同时满足，理由如下：若同时满足，因为，且，所以所以，矛盾所以只能同时满足，所以，所以，故不满足故满足，（）因为，所以解得，或（舍）所以的面积【点睛】本题主要考查三角形的解以及余弦定理的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.20. 某大学为调研学生在，两家餐厅用餐的满意度，从在，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人
17、，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，得到餐厅分数的频率分布直方图，和餐厅分数的频数分布表： （）在抽样的100人中，求对餐厅评分低于30的人数；（）从对餐厅评分在范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在范围内的概率；（）如果从，两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由【答案】（I）人；（II）；（III）详见解析.【解析】试题分析：（）计算前三个小矩形面积和即可得结果；（）列举出所有从这人中随机选出人的所有情况共 种，符合条件的有 种，有古典概型概率公式可得结果；（III）比较得分低于 分的比例即可得结果.试题解析：（）由
18、餐厅分数的频率分布直方图，得对餐厅评分低于的频率为，所以，对餐厅评分低于的人数为.（）对餐厅评分在范围内的有人，设为；对餐厅评分在范围内的有人，设为.从这人中随机选出人的选法为：，共种.其中，恰有人评分在范围内的选法为：，.共6种.故人中恰有人评分在范围内的概率为.（）从两个餐厅得分低于分的数所占的比例来看：由（）得，抽样的人中，餐厅评分低于的人数为，所以，餐厅得分低于分的人数所占的比例为.餐厅评分低于的人数为，所以，餐厅得分低于分的人数所占的比例为.所以会选择餐厅用餐.【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及直方图的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解
19、题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，. ，再，.依次. 这样才能避免多写、漏写现象的发生.21. 某地为了整顿电动车道路交通秩序，考虑对电动车闯红灯等违章行为进行处罚，为了更好地了解情况，在某路口骑车人中随机选取了100人进行调查，得到如下数据，其中处罚金额x（单位：元）01020处罚人数y50ab（1）用表中数据所得频率代替概率，求对骑车人处罚10元与20元的概率的差；（2）用分层抽样的方法在处罚金额为10元和20元的抽样人群中抽取5人，再从这5人中选取2人参与路口执勤，求这两种受处罚的人中各有一人参与执勤的概率【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件列出方
20、程组，求得a,b的值，计算相应频率，作为概率，计算差即可.（2）根据分层抽样的等比例原则得到受处罚10元的人中应抽取3人，受处罚20元的人中应抽取2人，分别用字母表示，利用列举法计数，根据古典概型计算即可.【详解】（1）由条件可得，解得，所以处罚10元的有30人，处罚20元的有20人 所以对骑车人处罚10元与20元的概率的差为 （2）用分层抽样的方法在受处罚的人中抽取5人，则受处罚10元的人中应抽取3人，分别记为a，b，c，受处罚20元的人中应抽取2人，分别记为A，B，若再从这5人中选2人参与路口执勤，共有10种情况：，其中两种受处罚的人中各有一人的情况有6种：， 所以两种受处罚的人中各有一人
21、参与执勤的概率为【点睛】本题考查频率与概率，古典概型的计算与应用，关键是列举法计数，难度不大，属基础题.22. 如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，BE与平面ABCD所成角为求证：平面BDE；求二面角的余弦值；设点是线段BD上的一个动点，试确定点的位置，使得平面BEF，并证明你的结论【答案】（1）见解析 （2）（3）M的坐标为(2,2,0)，见解析【解析】【分析】（1）由正方形性质得，由平面得，再根据线面垂直判定定理得平面（2）利用空间向量求二面角：先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求二面角（3）设点坐标，根据平面得，解方程可得点坐标.【详解】（1）证明：平面，平面，又是正方形，平面（2），两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，与平面所成角为，即，而，由，可知：，则，设平面的法向量为，则，即，令，则因为平面，所以为平面的法向量，所以因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为（3）依题意得，设，则，平面，即，解得：，点的坐标为，此时，点是线段靠近点的三等分点【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.