1、北京市海淀区2020届高三数学下学期学期期末考试练习（二模）（含解析）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（4分）若全集UR，Ax|x1，Bx|x1，则（）AABBBACBUADUAB2（4分）下列函数中，值域为0，+）且为偶函数的是（）Ayx2By|x1|CycosxDylnx3（4分）若抛物线y212x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则|PF|等于（）A4B6C8D104（4分）已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为（）A若m，n，则mnB若lm，m，则lC若l，l，则D若l，l，则5（4分）在
2、ABC中，若a7，b8，cosB，则A的大小为（）ABCD6（4分）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）（）ABCcos2xDcos2x7（4分）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该三棱锥的体积为（）ABC2D48（4分）对于非零向量，“（+）22”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9（4分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动若D1OOP，则D1C1P面积的最大值为（）ABCD10（4分）为了预防新型冠状病毒
3、的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座例如图中第一列所示情况不满足条件（其中“”表示就座人员）根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（）A9B10C11D12二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）若复数（2i）（a+i）为纯虚数，则实数a 12（5分）已知双曲线E的一条渐近线方程为yx，且焦距大于4，则双曲线E的标准方程可以为 （写出一个即可）13（5分）数列an中，a12，an+12an，nN*若其前k项和为126，则k 1
4、4（5分）已知点A（2，0），B（1，2），C（2，2），O为坐标原点，则 ，与夹角的取值范围是 15（5分）已知函数，给出下列三个结论：当a2时，函数f（x）的单调递减区间为（，1）；若函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+）；若a1且a0，则bR，使得函数yf（x）b恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x31其中，所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16（14分）已知an是公差为d的无穷等差数列，其前n项和为Sn又_，且S540，是否存在大于1的正整数k，使得SkS1？若存在，求k的值；若不存在，说明理由从a14，d2这两个条
5、件中任选一个，补充在上面问题中并作答17（14分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，BCAD，ADC90，BCCDAD1，E为线段AD的中点，PE底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G（）求证：BEFG；（）若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值18（14分）为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，
6、各年龄段被访者签约率如图2所示（）估计该地区年龄在7180岁且已签约家庭医生的居民人数；（）若以图2中年龄在7180岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在7180岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率；（）据统计，该地区被访者的签约率约为44%为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释19（15分）已知椭圆w：（ab0）过A（0，1），B（0，1）两点，离心率为（）求椭圆w的方程；（）过点A的直线l与椭圆w的另一个交点为C，直线l交直线y2于点M，记直线BC，BM
7、的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值20（14分）已知函数f（x）ex（sinx+cosx）（）求f（x）的单调递增区间；（）求证：曲线yf（x）在区间（0，）上有且只有一条斜率为2的切线21（14分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点对任意的点P（x，y），定义|OP|x|+|y|任取点A（x1，y1），B（x2，y2），记A（x1，y2），B（x2，y1），若此时|OA|2+|OB|2|OA|2+|OB|2成立，则称点A，B相关（）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；A（2，1），B（3，2）；C（4，3），D（2，4）（）给定nN*，n3，点集n（x，y）|nxn，nyn，x，y
8、Z（i）求集合n中与点A（1，1）相关的点的个数；（ii）若Sn，且对于任意的A，BS，点A，B相关，求S中元素个数的最大值2020年北京市海淀区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1【分析】由集合间的关系直接判断【解答】解：RAx|x1，RBx|x1，RAB，故选：D2【分析】由已知结合函数奇偶性分别进行检验，然后求出函数的值域进行检验，即可求解【解答】解：A：yx2为偶函数，且值域0，+），符合题意；B：y|x1|为非奇非偶函数，不符合题意；C：ycosx的值域1，1，不符合题意；D：ylnx为非奇非偶
9、函数，且值域R，不符合题意故选：A3【分析】利用抛物线的标准方程，求出p，通过定义转化求解即可【解答】解：抛物线y212x的焦点在x轴上，P6，由抛物线的定义可得：|PF|xP+3+6故选：B4【分析】对于A，m与n相交、平行或异面；对于B，l或l；对于C，与平行或相交；对于D，由面面垂直的判定定理得【解答】解：三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面，对于A，若m，n，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，若lm，m，则l或l，故B错误；对于C，若l，l，则与平行或相交，故C错误；对于D，若l，l，则由面面垂直的判定定理得，故D正确故选：D5【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求
10、sinB的值，由正弦定理可得sinA，结合大边对大角可求A为锐角，利用特殊角的三角函数值可求A的值【解答】解：a7，b8，cosB，sinB，由正弦定理，可得sinA，ab，A为锐角，A故选：C6【分析】根据平移变换法则求解g（x）解析式【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度后，可得ysin2（x+）sin（2x+）cos2x；故选：C7【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体ABCD，如图所示：VABCDVABCEVACDE故选：A8【分析】“（+）22”化为：+2，进而判断出结论【解答】解；“（+）22”化为
11、：+2，即由“”反之不成立，可能|cos，|“（+）22”是“”的必要不充分条件故选：B9【分析】由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定可得P的轨迹，求出P到棱C1D1 的最大值，代入三角形面积公式求解【解答】解：如图，由正方体性质知，当P位于C点时，D1OOC，当P位于BB1 的中点P1 时，由已知得，DD12，DOBO，BP1B1P11，求得，OP1，得OD1OP1又OP1OCO，D1O平面OP1 C，得到P的轨迹在线段P1C上由C1P1CP1，可知C1CP1 为锐角，而CC12，知P到棱C1D1 的最大值为则D1C1P面积的最大值为故选：C10【分析】分步安排每一排就坐，根据第一排与第二
12、排的空座位值是否在同一列分情况安排第三排人员就坐，从而得出结论【解答】解：第一步，在第一排安排3人就坐，且空出中间一个座位，不妨设空出第二个座位，第二步，在第二排安排3人就坐，且空出中间一个座位，则可空出第二或第三个座位，第三步，若第二排空出第二个座位，则第三排只能安排一人在第二个座位就坐，若四步，在第四排安排3人就坐，空出第二或第三个座位，此时会议室共容纳3+3+1+310人，重复第三步，若第二步空出第三个座位，则第三排可安排2人在中间位置就坐，重复第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二个座位，此时会议室共容纳3+3+2+311人故选：C二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11【分析】利
13、用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解【解答】解：（2i）（a+i）（2a+1）+（2a）i为纯虚数，即a故答案为：12【分析】由双曲线的渐近线方程，可设双曲线的方程为x2y2（0），讨论0，0时，求得双曲线的焦距，解不等式可得所求范围，可取一个特殊值，可得所求的双曲线的标准方程【解答】解：双曲线E的一条渐近线方程为yx，设双曲线的方程为x2y2（0），若0，可得1，可得焦距为24，解得2；若0，则1，可得焦距为24，解得2，故双曲线的方程为x2y2（2或2），取4，双曲线的方程为1，故答案为：113【分析】由已知可得数列an是以2为首项，以2为公比的等比数列，然后结合
14、等比数列的求和公式即可求解【解答】解：a12，an+12an，数列an是以2为首项，以2为公比的等比数列，126，故k6故答案为：614【分析】根据题意，分析可得（1，0），进而可得|1，即可得|1，据此分析可得P是以A为圆心，半径为1的圆，则设P（2+cos，sin），与夹角为，即可得向量、的坐标，由数量积的计算公式计算可得答案【解答】解：根据题意，A（2，0），B（1，2），C（2，2），则（1，0），则|1，又由，则|1，P是以A为圆心，半径为1的圆，则设P（2+cos，sin），与夹角为，（02，0）；则（2+cos，sin），（2，0），则|，|2，4+2cos，则有cos（）（+）
15、，又由+2，当且仅当5+4cos3，即cos1时，等号成立，则有cos（+），又由0，则0，即与夹角的取值范围是0，；故答案为：1，0，15【分析】对于，当a2时，函数yax+1在（，0单调递减，y|lnx|在（0，1）上单调递减，作出函数图象即可判断出结论对于，对a分类讨论，利用一次函数的单调性及其对数函数的单调性即可判断出正误；对于，令f（x）b0，即当x0时，ax+1b；当x0时，|lnx|b；不妨设x10x2x3，若函数有三个零点，可得x10，x2eb，x3eb，进而判断出结论【解答】解：对于，当a2时，函数yax+1在（，0单调递减，y|lnx|在（0，1）上单调递减，但是函数f（x
16、）在（，1）不单调递减因此错误；对于，因为y|lnx|0，当a0时，x0，y1，此时函数的最小值为0；当a0时，yax+1在（，0上单调递增，没有最小值，且x是，y；当a0时，yax+1在（，0上单调递减，最小值为1，所以函数f（x）的最小值为0；若函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+），正确；对于，令f（x）b0，即当x0时，ax+1b；当x0时，|lnx|b；不妨设x10x2x3，若函数有三个零点，则x10，x2eb，x3eb，则x2x31令x11，可得b1aa0时，b1a0，则三个零点x1x2x310a1时，1b1a0，则三个零点x1x2x31综上可得：正确故答案为：三、解答题
17、共6小题，共85分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程16【分析】分别选择，然后结合等差数列的求和公式及已知条件进行求解即可判断【解答】解：若选，a14，因为an是等差数列，所以S554+10d40，故d2，k2+3k，S1a14，由SkS1可得k2+3k4可得k1或k4（舍），故不存在k1使得SkS1；若选，d2，因为an是等差数列，由S55a1+10（2）40，可得a112，13kk2，因为SkS1，所以13kk212，解可得k1或k12，因为k121，存在在k1使得SkS1；17【分析】（）由已知证明四边形BCDE为平行四边形，得BECD，由直线与平面平行的判定可得BE平面PDC，再由
18、直线与平面平行的性质得到BEGF；（）由（）可得，BECD，结合ADC90，且PE平面ABCD，以E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设A（0，0，p），由PC与AB所成的角为，利用数量积求夹角公式解得p，再求出平面BEF的一个法向量及的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线PB与平面BEF所成角的正弦值【解答】（）证明：E为线段AD的中点，且BCAD，DEBC，又ADBC，DEBC，四边形BCDE为平行四边形，得BECD，CD平面PDC，BE平面PDC，BE平面PDC，BE平面BEGF，平面BEGF平面PDCFG，BEGF；（）解：由（）可得，BECD
19、，ADC90，AEB90，且PE平面ABCD，以E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设A（0，0，p），A（1，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），PC与AB所成的角为，（p0），解得p则P（0，0，），F（，），E（0，0，0），设平面BEF的一个法向量为由，取z1，得设直线PB与平面BEF所成角为，则sin即直线PB与平面BEF所成角的正弦值为18【分析】（）由题知该地区居民约为2000万，由图1知该地区年龄在7180岁的居民人数为80万，由图2知年龄在7180岁的居民签约率为0.7，由此能求出该地区年齡在7180岁且已签约家庭医生的居民
20、人数（）由题知此地区年龄段在7180的每个居民签约家庭医生的概率为p0.7，设“从该地区年龄在7180岁居民中随机抽取两人”为事件B，由此能求出这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率（）由图1，2，列出表格，得到这个地区在3150这个年龄段的人为740万，基数较其他年齡段是最大的，且签约率为37.1%，非常低，为把该地区满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应该着重提高3150这个年龄段的签约率【解答】解：（）由题知该地区居民约为2000万，由图1知该地区年龄在7180岁的居民人数为：0.00410200080万，由图2知年龄在7180岁的居民签约率为0.7，该地区年齡在7180岁且已签约家庭
21、医生的居民人数为：800.756万（）由题知此地区年龄段在7180的每个居民签约家庭医生的概率为p0.7，且每个居民之间是否签约都是独立的，设“从该地区年龄在7180岁居民中随机抽取两人”为事件B，随机变量为x，这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率为：P（x1）0.42（）由图1，2，知， 年龄段 该地区人数（万） 签约率% 1830 0.0051020001000.018102000360大于360，小于460 30.3 3140，4150 （0.021+0.016）102000740 37.1 5160 0.015102000300 55.7 6170 0.010102000200 61.
22、77180 0.00410200080 55.7 80以上 0.010102000200 61.7由以上数据可知这个地区在3150这个年龄段的人为740万，基数较其他年齡段是最大的，且签约率为37.1%，非常低，为把该地区满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应该着重提高3150这个年龄段的签约率19【分析】（）由题意可得，解得a2，b1，c，即可求出椭圆方程；（）设直线l：ykx+1，与直线方程联立求出C的坐标，再根据斜率公式即可求出【解答】解：（）由题意可得，解得a2，b1，c，所以椭圆w的方程为+y21；（）由题意可知，直线l斜率存在且不为0，设直线l：ykx+1，由可得（4k2+1）
23、x2+8kx0，解得xC，在直线l：ykx+1，令y2，可得xM，即M（，2），k1k+k，k23k，k1k23k20【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）问题等价于在区间（0，）上，方程excosx1有唯一解，设g（x）excosx，x（0，），求出g（x）1在（0，）上存在唯一一个根，从而证明结论【解答】解：（）f（x）ex（sinx+cosx）+ex（cosxsinx）2excosx，令f（x）2excosx0，解得：2kx2k+，kZ，故f（x）在（2k，2k+）（kZ）递增；（）原命题等价于：在区间（0，）上，方程excosx1有唯一解，设g（
24、x）excosx，x（0，），则g（x）excosxexsinxexsin（x），x，g（x），g（x）的变化如下表：x（0，）（，）g（x）+0g（x）递增极大值递减而g（0）1，g（）1，g（）0，g（x）1在（0，）上存在唯一一个根，即f（x）2excosx20在（0，）上存在唯一一个零点，曲线yf（x）在区间（0，）上有且只有一条斜率为2的切线21【分析】（）根据题意若点A（x1，y1），B（x2，y2）相关，则（x1x2）（y1y2）0，利用此不等式即可判定两点是否相关，（）（i）根据（x1x2）（y1y2）0，分别讨论在4个象限内，及坐标轴上与点A（1，1）相关的点的个数，即可算出
25、结果；（ii）由（）可知若两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2）相关，则（x1x2）（y1y2）0，再证明|（x1+y1）（x2+y2）|1，即可求出S中元素个数的最大值【解答】解：若点A（x1，y1），B（x2，y2）相关，不妨设x1，y1，x2，y20，则，（x1x2）（y1y2）0，（1）（23）（12）0，因此相关；（42）（34）0，因此不相关，（2）（i）在第一象限内，（x1）（y1）0，可知1xn 且1yn，有n2个点，同理可得在第二，第三，第四象限内，各有n2个点，在x轴正半轴上，点（1，0）满足条件，在y轴正半轴上，点（0，1）满足条件，原点（0，0）满足条件，因此集合n中共有4n2+5个点与点A（1，1）相关，（ii）若两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2）相关，其中x1，x20，y1，y20，可知（x1x2）（y1y2）0，下面证|（x1+y1）（x2+y2）|1，若x1x2，则y1y2，成立，若x1x2，则y1y2，若x1x2，则y1y2，亦成立，由于|（x1+y1）（x2+y2）|（n+n）（0+0）2n，因此最多有2n+1个点两两相关，其中最多有2n1个点在第一象限，最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点，因此S中元素个数的最大值为4（2n1）+21+18n1